問題
ジョーカーを除く1組52枚のトランプのカードを1列に並べる試行を考える。
(1) 番号7のカードが4枚連続して並ぶ確率を求めよ。
(2) 番後7のカードが2枚ずつ隣り合い，4枚連続しては並ばない確率を求めよ。
出典：北海道大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
52枚はすべて区別されるが、7の4枚の位置だけを先に選ぶと重複なく数えられる。(1)は4枚の7を1つの連続ブロックとして扱う。(2)は7の位置集合が2つの隣接ペアに分かれ、しかも4連続ではない場合を数える。ペアの先頭を と置き、 の条件で数え上げる。
解答
(1)
4枚の7を1つのかたまりと見る。このかたまりと残り48枚のカードを合わせて49個のものを並べるので、並べ方は 通りである。全体の並べ方は 通りであるから、求める確率は である。
(2)
7の4枚が置かれる位置だけに注目する。4つの位置の選び方は全部で 通りであり、どの位置集合も同じ確率で起こる。
7が2枚ずつ隣り合い、4枚連続ではないということは、7の位置が の2つのペアに分かれ、かつ2つのペアが重ならず、さらに4連続にならないことである。 とすると、この条件は である。 より なので、 に対して を数えればよい。したがって位置集合の数は である。よって求める確率は である。
別解。(2)は2つの7ペアをブロックとして見ることもできる。ただし、2つのブロックが隣り合うと4連続になってしまうため、ブロックの間に少なくとも1枚の7でないカードが必要である。位置で数える解法は、この「1つ以上のすき間」を と表したものになっている。