北海道大学 2015年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

$p$ は0でない実数とし

a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{1}{p} a_{n} - (- 1)^{n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots)

によって定まる数列 ${a_{n}}$ がある。

(1) $b_{n} = p^{n} a_{n}$ とする。 $b_{n + 1}$ を $b_{n}$ ， $n$ ， $p$ で表せ。

(2) 一般項 $a_{n}$ を求めよ。

出典：北海道大学 2015年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

$b_{n} = p^{n} a_{n}$ とおくと、もとの漸化式は $b_{n + 1} - b_{n}$ が等比型になる。まず(1)で階差を正確に出し、(2)では $b_{1}$ から和を取る。等比数列の和の分母に $p + 1$ が出るため、 $p = - 1$ だけは別に扱う。最後に $a_{n} = b_{n} / p^{n}$ へ戻す。

解答

(1)

定義より $b_{n + 1} = p^{n + 1} a_{n + 1} = p^{n + 1} (\frac{1}{p} a_{n} - (- 1)^{n + 1})$ である。したがって $b_{n + 1} = p^{n} a_{n} - p^{n + 1} (- 1)^{n + 1} = b_{n} - (- p)^{n + 1}$ となる。よって $b_{n + 1} = b_{n} - (- p)^{n + 1}$ である。

(2)

$b_{1} = p a_{1} = p$ である。(1)より $b_{n} = b_{1} - \sum_{k = 1}^{n - 1} (- p)^{k + 1} = p - \sum_{k = 2}^{n} (- p)^{k}$ である。

$p \neq = - 1$ のとき、 $\sum_{k = 2}^{n} (- p)^{k} = p^{2} \frac{1 - ( - p ) ^{n - 1}}{1 + p}$ だから $b_{n} = p - \frac{p ^{2} { 1 - ( - p ) ^{n - 1} }}{1 + p} = \frac{p + p ^{2} ( - p ) ^{n - 1}}{1 + p}$ である。したがって $a_{n} = \frac{b _{n}}{p ^{n}} = \frac{p ^{1 - n} + ( - 1 ) ^{n - 1} p}{p + 1}$ である。

$p = - 1$ のときは、(1)より $b_{n + 1} = b_{n} - 1$ であり、 $b_{1} = - 1$ だから $b_{n} = - n$ である。ここで $b_{n} = (- 1)^{n} a_{n}$ なので $a_{n} = (- 1)^{n} b_{n} = (- 1)^{n + 1} n$ である。

以上より

a_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{p ^{1 - n} + ( - 1 ) ^{n - 1} p}{p + 1} (- 1)^{n + 1} n (p \neq = - 1), (p = - 1)

である。

別解。 $p \neq = - 1$ では、斉次部分から $C p^{1 - n}$ 、交代項に対応する特解から $D (- 1)^{n - 1}$ とおける。代入すると $D = p / (p + 1)$ であり、 $a_{1} = 1$ から $C = 1/ (p + 1)$ となる。したがって同じく $a_{n} = {p^{1 - n} + (- 1)^{n - 1} p} / (p + 1)$ を得る。

北海道大学 2015年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2015年度
文系数学前期第2問