北海道大学 2015年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

平面において，一直線上にない3点 $O$ ， $A$ ， $B$ がある。 $O$ を通り直線 $O A$ と垂直な直線上に $O$ と異なる点 $P$ をとる。 $O$ を通り直線 $O B$ と垂直な直線上に $O$ と異なる点 $Q$ をとる。ベクトル $O P + O Q$ は $A B$ に垂直であるとする。

(1) $O P \cdot O B = O Q \cdot O A$ を示せ。

(2) ベクトル $O A$ ， $O B$ のなす角を $α$ とする。ただし， $0 < α < \frac{π}{2}$ とする。このときベクトル $O P$ ， $O Q$ のなす角が $π - α$ であることを示せ。

(3) $\frac{∣ O P ∣}{∣ O A ∣} = \frac{∣ O Q ∣}{∣ O B ∣}$ を示せ。

出典：北海道大学 2015年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

垂直条件はすべて内積で書く。(1)は $(p + q) \cdot (b - a) = 0$ を展開し、 $p \cdot a = 0$ ， $q \cdot b = 0$ を代入する。(2)(3)では $a$ を $x$ 軸方向、 $b$ を角 $α$ の方向に置き、 $p, q$ をそれぞれ垂線方向の符号つき長さで表す。条件から符号が反対になることを確認して、角と長さ比を読む。

解答

O A = a, O B = b, O P = p, O Q = q

とおく。

(1)

$O P ⊥ O A$ ， $O Q ⊥ O B$ より $p \cdot a = 0, q \cdot b = 0$ である。また $p + q$ は $A B = b - a$ に垂直なので $(p + q) \cdot (b - a) = 0$ である。展開すると

p \cdot b - p \cdot a + q \cdot b - q \cdot a = 0

であり、上の2つの垂直条件を用いて $p \cdot b - q \cdot a = 0$ となる。したがって

O P \cdot O B = O Q \cdot O A

である。

(2)

$∣ a ∣ = A$ ， $∣ b ∣ = B$ とし、座標軸を $a = A (1, 0), b = B (cos α, sin α)$ となるように取る。 $0 < α < π /2$ である。

$p ⊥ a$ だから、ある $u \neq = 0$ を用いて $p = (0, u)$ と書ける。また $q ⊥ b$ だから、ある $v \neq = 0$ を用いて $q = v (- sin α, cos α)$ と書ける。(1)をこの座標で表すと $p \cdot b = u B sin α, q \cdot a = - v A sin α$ であるから $u B sin α = - v A sin α$ となる。 $A, B > 0$ ， $sin α > 0$ より、 $u$ と $v$ は反対符号である。

したがって、 $p$ と $q$ は、それぞれ $O A, O B$ に立てた垂線の反対側を向く。たとえば $u > 0$ のとき、 $p$ の方向角は $π /2$ 、 $q$ の方向角は $α - π /2$ であるから、なす角は $\frac{π}{2} - (α - \frac{π}{2}) = π - α$ である。 $u < 0$ のときは両方の向きが同時に反転するだけなので、なす角は同じである。よって $なす角は π - α$ である。

(3)

(2)の記号を用いると $∣ p ∣ = ∣ u ∣, ∣ q ∣ = ∣ v ∣$ である。また $u B = - v A$ だから、絶対値を取って $∣ u ∣ B = ∣ v ∣ A$ を得る。したがって $\frac{∣ p ∣}{A} = \frac{∣ q ∣}{B}$ すなわち

\frac{∣ O P ∣}{∣ O A ∣} = \frac{∣ O Q ∣}{∣ O B ∣}

である。

北海道大学 2015年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2015年度
文系数学前期第3問