問題
2つの放物線
がある。は0でない実数とし，上の2点，を通る直線と平行なの接線をとする。
(1) の方程式をで表せ。
(2) とが異なる2つの共有点をもつようなの値の範囲を求めよ。
(3) とが異なる2つの共有点，をもつとする。線分の長さと線分の長さが等しくなるとき，の値を求めよ。
出典：北海道大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
まず を通る直線の傾きを出し、 の接線の傾き と一致させて接点を決める。 との共有点は、接線を に代入して得る2次方程式の判別式で判定する。(3)では の長さを直接求め、 は共有点の 座標差と直線 の傾きから と表す。最後に(2)の2交点条件を満たすか確認する。
解答
(1)
， であり、 だから、直線 の傾きは である。 の における接線の傾きは なので、 の接点は を満たす。したがって接点は であり、接線 は すなわち である。
(2)
と の共有点の 座標は を満たす。これを整理すると である。異なる2つの共有点をもつ条件は、この2次方程式の判別式が正であることである。 より、 でなければならない。したがって である。
(3)
まず である。
次に、 と の2つの共有点の 座標を とする。2次方程式 について、2解の差の2乗は である。2点 は同じ直線 上にあり、 の傾きは であるから、 座標の差が のとき である。よって である。
であるから である。， より となり、 を得る。この値は を満たすので、(2)の2交点条件にも合う。したがって である。
別解。(3)の は、2交点を実際に解かなくても判別式だけで求められる。一般に の2解の差の2乗は である。この問題では ， なので、ただちに となり、距離比較へ進める。