北海道大学 2014年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$f (x) = \int_{x}^{x + \frac{π}{3}} ∣ sin θ ∣ d θ$ とおく。

(1) $f^{'} (x)$ を求めよ。

(2) $0 ≦ x ≦ π$ における $f (x)$ の最大値と最小値，およびそのときの $x$ を求めよ。

出典：北海道大学 2014年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

(1) は積分区間の上端と下端がともに $x$ に依存しているので、上端の被積分関数から下端の被積分関数を引く。(2) は $0 ≦ x ≦ π$ で $sin x ≧ 0$ である一方、 $sin (x + π /3)$ は $x = 2 π /3$ で符号が変わることに注意して $f^{'} (x)$ を区間ごとに調べる。増減が変わる $x = π /3, 5 π /6$ と端点の値をすべて比較し、最大・最小を決める。

解答

(1)

$f (x) = \int_{x}^{x + π /3} ∣ sin θ ∣ d θ$ である。積分区間の上端と下端が $x$ に依存しているので、微分すると

f^{'} (x) = sin (x + \frac{π}{3}) \cdot \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{3}) - ∣ sin x ∣ \cdot \frac{d}{d x} x

である。したがって $f^{'} (x) = sin (x + \frac{π}{3}) - ∣ sin x ∣$ である。

(2)

以下、 $0 ≦ x ≦ π$ とする。この範囲では $∣ sin x ∣ = sin x$ である。一方、 $x + π /3$ は $\frac{π}{3} ≦ x + \frac{π}{3} ≦ \frac{4 π}{3}$ を動く。したがって $x = 2 π /3$ を境に、 $sin (x + π /3)$ の符号が変わる。

まず $0 ≦ x ≦ \frac{2 π}{3}$ では $sin (x + π /3) ≧ 0$ だから

f^{'} (x) = sin (x + \frac{π}{3}) - sin x = 2 cos (x + \frac{π}{6}) sin \frac{π}{6} = cos (x + \frac{π}{6})

である。よってこの区間では

f^{'} (x) > 0 (0 ≦ x < \frac{π}{3}), f^{'} (x) < 0 (\frac{π}{3} < x ≦ \frac{2 π}{3})

である。

次に $\frac{2 π}{3} ≦ x ≦ π$ では $sin (x + π /3) ≦ 0$ だから

f^{'} (x) = - sin (x + \frac{π}{3}) - sin x = - {sin (x + \frac{π}{3}) + sin x} = - 3 sin (x + \frac{π}{6})

である。したがって

f^{'} (x) < 0 (\frac{2 π}{3} ≦ x < \frac{5 π}{6}), f^{'} (x) > 0 (\frac{5 π}{6} < x ≦ π)

である。

以上より、最大・最小の候補は $x = 0, x = \frac{π}{3}, x = \frac{5 π}{6}, x = π$ である。それぞれの値を求める。

まず

f (0) = \int_{0}^{π /3} sin θ d θ = [- cos θ]_{0}^{π /3} = \frac{1}{2}

である。また

f (\frac{π}{3}) = \int_{π /3}^{2 π /3} sin θ d θ = [- cos θ]_{π /3}^{2 π /3} = 1

である。

次に

f (\frac{5 π}{6}) = \int_{5 π /6}^{7 π /6} ∣ sin θ ∣ d θ

である。この区間は $π$ をまたぐので

f (\frac{5 π}{6}) = \int_{5 π /6}^{π} sin θ d θ + \int_{π}^{7 π /6} (- sin θ) d θ = (1 - \frac{3}{2}) + (1 - \frac{3}{2}) = 2 - 3

である。最後に

f (π) = \int_{π}^{4 π /3} (- sin θ) d θ = [cos θ]_{π}^{4 π /3} = \frac{1}{2}

である。

これらを比較すると $2 - 3 < \frac{1}{2} < 1$ である。よって最大値は $1 (x = \frac{π}{3})$ であり、最小値は $2 - 3 (x = \frac{5 π}{6})$ である。

北海道大学 2014年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2014年度
理系数学前期第5問