問題
四面体は，，をみたす。辺上の点と辺上の点を，，となるようにとる。とし，の面積をとする。
(1) のとり得る値の範囲を求めよ。
(2) をで表せ。
(3) の最小値，およびそのときの，を求めよ。
出典：北海道大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
直交する3本の辺を座標軸に取り、、、 と置く。(1) は と から として の範囲を決め、 の最小・最大を調べる。(2) は の面積を2辺の長さと内積から計算し、 で に直す。(3) は (2) の式が の増加関数であることから、(1) の最小の を使う。
解答
準備
は互いに直交し、長さがすべて1である。そこで とおく。このとき である。 は辺上の点で、 だから である。
(1)
より、相加相乗平均から である。等号は のときに成り立ち、この値は確かに辺上の条件 を満たす。
次に最大値を調べる。 と書くと、 より なので である。また だから である。この範囲で とおくと であり、 で最小となる。したがって最大値は端点で調べればよい。 で、どちらも である。よって である。
(2)
である。したがって
である。
三角形の面積を とすると
だから
である。ここで より であり、また である。したがって である。面積は正なので である。
(3)
(2)で得た式 は、今回の範囲 では が小さいほど小さい。したがって は (1) の範囲で最小の のとき最小となる。
相加相乗平均の等号条件より、このとき であり、 と合わせて である。このとき
である。よって のとき最小値 をとる。