問題
とする。
(1) 関数の極大値と極小値，およびそのときのを求めよ。
(2) 曲線に2点と で接する直線の方程式を求めよ。
方針
(1) は導関数を因数分解して増減表を作り、極値の種類と値を確認する。(2) は、2点 で同じ直線が接するためには接線の傾きと切片が一致する、という条件を立てる。、 で対称式に直すと計算が整理される。最後に を満たす候補だけを残し、接線の傾きと切片を求める。別解として、求める直線を引いた差が2つの重解をもつ4次式になることから、平方 と係数比較する方法も使える。
解答
(1)
であるから
である。したがって増減が変わる候補は である。
符号を調べると、 は
である。よって と で極小、 で極大をとる。
それぞれの値は である。したがって であり、極小値は である。
(2)
点 における接線は すなわち である。2点 で同じ直線に接するためには、傾きと切片がともに一致する必要がある。したがって かつ である。
まず なので、 を用いて
である。よって を得る。
次に
である。したがって同様に で割ると である。
ここで とおくと であるから、傾き一致の条件は すなわち である。また なので、切片一致の条件は である。ここへ を代入すると となる。因数分解して である。 のときは、 を解にもつ2次方程式の判別式 が0になる。実際、 だからこの値は0である。これは を意味し、問題の条件 に反する。したがって だけが残る。このとき である。よって は の2解であるから、 より である。
この2点における接線の傾きを求める。 を満たす点では である。したがって
である。
また、切片は である。例えば を代入してもよいが、上の関係式を使うと となる。よって求める直線は である。
別解。求める直線を とする。2点で接するということは、4次式 が異なる2つの重解をもつということである。したがって と書ける。係数を比較すると、右辺は である。一方、左辺は である。よって から を得る。さらに より である。したがって同じく が得られる。