問題
(1) すべての正の実数に対して不等式が成立するような実数のうちで最大となるものを求めよ。
(2) 定積分を求めよ。
(3) 円周率との大小を判定せよ。ただしはの自然対数とする。
出典：北海道大学 2014年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
(1) は を用いて不等式を に直し、右辺の最小値を求める。(2) は と置換して、積分区間を から に変える。(3) は (1) の最大値 から得られる不等式 を から まで積分し、(2) の値と対数積分を比較する。等号が区間全体では成り立たないため、最後は厳密な不等号になる。
解答
(1)
なので、与えられた不等式 の両辺に正の数 をかけることができる。すると であり、さらに で割って を得る。
この不等式がすべての正の実数 について成り立つためには、 は の最小値以下でなければならない。相加相乗平均より であり、等号は のときに成り立つ。したがって、条件を満たす の最大値は である。
(2)
とおく。 が から まで動くとき、 は を動く。また
である。したがって となる。
よって
である。
(3)
(1) の結果より、すべての について が成り立つ。等号は のときだけである。したがって区間 では である。
この不等式を から まで積分すると、区間内で厳密な不等号が成り立つので である。(2) より左辺は であり、右辺は
である。したがって を得る。両辺を6倍して である。さらに だから である。