問題
(1) 双曲線と直線が共有点を持つような全体からなる領域を平面上に図示せよ。
(2) (1)の領域をが動くとき，の最小値，およびそのときのを求めよ。
方針
(1) は直線を双曲線に代入し、 についての方程式が実数解を持つ条件を求める。 では2次係数が0になるため、判別式だけでなく漸近線そのもの が共有点を持たない例外であることに注意する。(2) は点 から領域 までの距離の2乗を最小にする問題である。右側の境界 上で を計算し、縦帯部分より小さいことも確認して最小点を決める。
解答
(1)
直線 を双曲線 に代入する。分母を払うために36倍すると である。展開して を得る。これは共有点の 座標が満たす方程式である。
まず 、すなわち の場合を考える。この2次方程式が実数解を持つ条件は判別式が0以上であることである。判別式を とすると
である。したがって は と同値である。
次に の場合を確認する。このとき方程式は1次以下になる。もし なら となり、これは実数解を持つ。一方、 のときは直線が双曲線の漸近線 そのものになり、双曲線とは共有点を持たない。
したがって領域 は、おおまかには で表される領域である。ただし、点 は除く。
図示すると、 ではすべての が含まれ、 では の部分が含まれる。境界曲線は含まれるが、漸近線に対応する上の2点だけは含まれない。
(2)
求める量 は、 平面上で点 からの距離の2乗である。点 は領域のかなり右側にあるため、最小点は右側の境界 上に現れると考えられる。実際、この境界上で計算すると
である。これは のとき最小値 をとる。このとき であるから である。
なお、 の縦帯部分では、 に最も近づくとしても は に近づくだけであり、距離の2乗は より小さくならない。左側の境界や上側・下側で を大きくする点も、これより近くならない。
したがって最小値は であり、そのときの点は である。