北海道大学 2014年度
後期・理系数学 後期 第1問

解答

$f(x)=0$ の相異なる整数解を $r_1,r_2,\dots ,r_n$ とする。$x^n$ の係数が1であるから、$f(x)$ は $f(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots (x-r_n)$ と表せる。したがって $f(0)=(-r_1)(-r_2)\cdots (-r_n)=(-1{)}^n{r}_1{r}_2\cdots r_n$ である。条件より $(-1{)}^n{r}_1{r}_2\cdots r_n=p$ である。

ここで $p$ は素数である。また $f(0)=p\ne 0$ なので、どの根も0ではない。したがって、整数 $r_i$ の絶対値の積は $|r_1{r}_2\cdots r_n|=p$ である。よって根のうち1つだけが絶対値 $p$ をもち、残りの根はすべて絶対値1でなければならない。

絶対値1の整数は $1,-1$ だけである。さらに根は相異なるので、$1$ も $-1$ もそれぞれ高々1回しか使えない。したがって、根の集合は $\{p\}\text{ または }\{-p\}$ に、必要に応じて $1,-1$ を加えたものに限られる。よって $n\leqq 3$ である。

以下、符号条件 $f(0)=p$ を満たすものを列挙する。

1次の場合。

根が $p$ のときは $f(x)=x-p$ であり、$f(0)=-p$ なので不適である。根が $-p$ のときは $f(x)=x+p$ であり、$f(0)=p$ なので適する。

2次の場合。

根は、絶対値 $p$ の根1つと、$1$ または $-1$ のどちらかである。符号を調べると、適するものは $\{1,p\}$ と $\{-1,-p\}$ である。実際、これらから $(x-1)(x-p),(x+1)(x+p)$ が得られ、どちらも定数項は $p$ である。他の組合せでは定数項が $-p$ になる。

3次の場合。

根は、絶対値 $p$ の根1つと、$1,-1$ の両方である。根を $p,1,-1$ とすると $f(x)=(x-p)(x-1)(x+1)$ であり、定数項は $(-p)(-1)(1)=p$ なので適する。一方、根を $-p,1,-1$ とすると定数項は $-p$ になり不適である。

以上より、求める多項式は $\boxed{x+p}$ $\boxed{(x-1)(x-p)}$ $\boxed{(x+1)(x+p)}$ $\boxed{(x-p)(x-1)(x+1)}$ である。これらはいずれも整数係数のモニック多項式で、定数項が $p$ であり、相異なる整数解を持つので条件をすべて満たす。