問題
に対し，とする。ここでは正の実数とする。
(1) をの関数とみなす。その関数の最大値，およびそのときのを求めよ。
(2) において，がで最大値をとるようなの範囲を求めよ。
(3) が(2)で求めた範囲を動くとき，の値が最大となるを求めよ。
出典：北海道大学 2014年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
合成関数を直接展開するより、 とおくと見通しがよい。 では 、かつ は に対応する。すると という上に凸の2次関数として扱える。(1) は を代入した の3次関数を最大化する。(2) は の2次関数の軸 が区間の右端以上にある条件を求める。(3) はその範囲内で (1) の関数を再び比較する。
解答
(1)
であるから である。したがって
である。
これを とおく。 で考える。微分すると である。したがって は で増加し、 で減少する。よって最大となるのは のときである。このとき である。したがって である。
(2)
とおく。 では であり、 のときちょうど となる。
この を使うと であるから
である。 なので、これは について上に凸の2次関数であり、軸は である。 で が最大値をとるためには、 の区間 の右端 で が最大になればよい。下向きの2次関数は軸までは増加し、軸を過ぎると減少する。したがって、右端で最大になる条件は軸が右端以上にあること、すなわち である。 よりこれは と同値である。
したがって求める範囲は である。 のときは軸がちょうど に一致するので、確かに で最大値をとる。
(3)
(2) の範囲では である。この範囲で (1) の を最大化すればよい。
すでに である。 では なので である。したがって はこの範囲で増加する。よって最大となるのは右端 である。