問題
方程式で定まる楕円と，方程式で定まる双曲線を考える。
(1) 楕円と双曲線の交点をすべて求めよ。
(2) 連立不等式
の表す領域の面積を求めよ。
出典：北海道大学 2013年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
楕円と双曲線の交点を求め、どの範囲で双曲線が楕円の内側に入るかを確認する。領域は第1象限と第3象限に対称に現れるので、第1象限の面積を積分で求めて2倍する。
解答
楕円を 双曲線を とする。双曲線上では であり、交点では である。 とおくと であり、両辺に を掛けて すなわち を得る。よって である。
第1象限での交点は
である。第3象限にもこれらと原点対称な交点がある。
第1象限では、 が の範囲で、楕円の上側 が双曲線 以上になる。したがって第1象限の部分の面積は である。求める領域は第1象限と第3象限に対称に2つあるので、面積 は である。
まず
である。原始関数 を用いると、 の値は両端でどちらも であるから、差は の部分だけになる。よって
である。
また、
である。
したがって
である。