北海道大学 2013年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$2 \times 2$ 行列 $A$ と $B$ が $A B = B A$ をみたすとき， $A$ と $B$ は交換可能であるという。

(1) $A$ と $B$ が交換可能ならば， $A B$ と $B$ は交換可能であることを示せ。

(2) 行列 $X$ ， $C$ ， $E$ を

X = (a c b d), C = (1320), E = (1001)

と定める。ただし， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ は実数とする。 $X$ と $C$ が交換可能のとき， $X$ は実数 $α$ ， $β$ を用いて $α C + β E$ と表されることを示せ。

(3) 上の行列 $C$ に対して，次の3条件を同時にみたす $2 \times 2$ 行列 $Y$ をすべて求めよ。

(a) $Y$ と $C$ は交換可能。

(b) $C Y = t Y$ をみたす実数 $t$ がある。

出典：北海道大学 2013年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1) は結合法則を用いて、 $A B) B$ と $B (A B)$ が同じ積に変形できることを示す。(2) は一般の2次正方行列を置いて $X C = C X$ を成分比較し、 $C$ と単位行列 $E$ の一次結合になることを確認する。(3) はその形を使って係数比較する。

解答

(1) $A B = B A$ とする。このとき $(A B) B = A (B B) = A B^{2}$ である。一方、 $B (A B) = (B A) B = (A B) B = A B^{2}$ である。したがって $(A B) B = B (A B)$ となり、 $A B$ と $B$ は交換可能である。

(2)

X = (a c b d)

とおく。 $C = (1320)$ であるから

X C = (a + 3 b c + 3 d 2 a 2 c), C X = (a + 2 c 3 a b + 2 d 3 b)

である。 $X C = C X$ より成分を比較すると、 $3 b = 2 c, 2 a = b + 2 d, c + 3 d = 3 a$ を得る。第1式から $b = \frac{2}{3} c$ であり、第3式から $a = \frac{1}{3} c + d$ である。よって

X = (d + \frac{1}{3} c c \frac{2}{3} c d) = \frac{c}{3} (1320) + d (1001)

である。

したがって $X = α C + β E$ と表せる。ただし $α = c /3, β = d$ である。

(3) $Y$ は $C$ と交換可能なので、(2) より $Y = α C + β E$ と表せる。 $Y$ の $(2, 2)$ 成分が $1$ であり、 $C$ の $(2, 2)$ 成分は $0$ 、 $E$ の $(2, 2)$ 成分は $1$ だから $β = 1$ である。したがって $Y = α C + E$ である。

ここで

C^{2} = (1320)^{2} = (7326) = C + 6 E

である。条件 $C Y = t Y$ より $C (α C + E) = t (α C + E)$ である。左辺は $α C^{2} + C = α (C + 6 E) + C = (α + 1) C + 6 α E$ である。よって $(α + 1) C + 6 α E = t α C + tE$ となる。 $C$ と $E$ は一次独立なので、係数比較により $α + 1 = t α, 6 α = t$ である。これより $α + 1 = 6 α^{2}$ すなわち $6 α^{2} - α - 1 = 0$ である。したがって $α = \frac{1}{2}, - \frac{1}{3}$ である。

よって

Y = \frac{1}{2} C + E = (\frac{3}{2} \frac{3}{2} 11)

または

Y = - \frac{1}{3} C + E = (\frac{2}{3} - 1 - \frac{2}{3} 1)

である。

北海道大学 2013年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

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後期・理系数学後期第2問