問題
相異なる3点，，の上を動く点がある。点の1秒後の位置が以下のルールに従って定まるものとする。
(i) にいるときは，確率でにとどまるか，確率でに移るか，確率でに移る。
(ii) にいるときは，必ずに移る。
(iii) にいるときは，確率でに移るか，確率でに移る。
いま，点がからスタートしてこのルールに従って秒後に，，にいる確率をそれぞれ，，とする。
(1) ，，，，，を求めよ。
(2) のとき，を，，を用いて表せ。
(3) ，，を求めよ。
出典：北海道大学 2013年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
初期状態から1回後、2回後を直接計算する。以後は、各点への遷移確率を見て漸化式を作り、対称性から を利用する。すると だけの一次漸化式になり、定数解からの差を取って解ける。
解答
(1) 最初は点 にいる。1回後は のいずれへも確率 で移るので、 である。
2回後を求める。点 へ来るには、直前に にいて を選ぶ場合、または直前に にいて を選ぶ場合がある。したがって である。同様に である。また、 である。
(2) とする。 回後に点 にいるには、 回後に点 にいて確率 で に移るか、 回後に点 にいて確率 で に移る必要がある。よって である。
(3) 同じ理由で、 について であるから である。これは でも成り立つ。
また確率の和は なので であり、 より である。これを (2) の漸化式に代入すると である。
この漸化式の定数解を とすると より である。したがって である。 だから であり、 である。よって である。
さらに である。