北海道大学 2013年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ ， $c$ を正の実数とする。

(1) $t > 0$ に対して，不等式 $b t^{b + c} + c ≧ (b + c) t^{b}$ が成り立つことを示せ。

(2) $x > 0$ ， $y > 0$ に対して，不等式 $a x^{a + b + c} + b y^{a + b + c} + c ≧ (a + b + c) x^{a} y^{b}$ が成り立つことを示せ。

出典：北海道大学 2013年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1) は左辺を関数として最小値を調べる。導関数の符号から $t = 1$ で最小になることを示せばよい。(2) は (1) から得られる重み付き相加相乗平均型の不等式を2回使い、まず $b, c$ 、次に $a, b + c$ の重みに分ける。

解答

(1) 左辺を $ϕ (t) = b t^{b + c} + c - (b + c) t^{b}$ とおく。微分すると $ϕ^{'} (t) = b (b + c) t^{b + c - 1} - b (b + c) t^{b - 1} = b (b + c) t^{b - 1} (t^{c} - 1)$ である。 $t > 0$ では $b (b + c) t^{b - 1} > 0$ だから、 $0 < t < 1$ では $t^{c} - 1 < 0$ 、 $t > 1$ では $t^{c} - 1 > 0$ である。したがって $ϕ (t)$ は $0 < t < 1$ で減少し、 $t > 1$ で増加する。

よって最小値は $t = 1$ でとり、 $ϕ (1) = b + c - (b + c) = 0$ である。したがって $b t^{b + c} + c ≧ (b + c) t^{b}$ が成り立つ。

(2) (1) から、正の数 $U, V$ に対して $b U + c V ≧ (b + c) U^{\frac{b}{b + c}} V^{\frac{c}{b + c}}$ が成り立つ。実際、 $U / V = t^{b + c}$ とおいて (1) に $V$ を掛ければよい。

これを $U = y^{a + b + c}, V = 1$ に適用すると、 $b y^{a + b + c} + c ≧ (b + c) y^{\frac{b ( a + b + c )}{b + c}}$ である。

さらに、重み $a$ と $b + c$ に対して同じ形の不等式を用いると、

a x^{a + b + c} + (b + c) y^{\frac{b ( a + b + c )}{b + c}} ≧ (a + b + c) (x^{a + b + c})^{\frac{a}{a + b + c}} (y^{\frac{b ( a + b + c )}{b + c}})^{\frac{b + c}{a + b + c}}

である。右辺は $(a + b + c) x^{a} y^{b}$ である。

先ほどの不等式 $b y^{a + b + c} + c ≧ (b + c) y^{\frac{b ( a + b + c )}{b + c}}$ を加味すると、 $a x^{a + b + c} + b y^{a + b + c} + c ≧ (a + b + c) x^{a} y^{b}$ を得る。

北海道大学 2013年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

北海道大学 2013年度
後期・理系数学後期第1問