北海道大学 2013年度
文系数学 前期 第4問

解答

放物線 $y=x^2$ 上の $x$ 座標 $u$ における接線は $y=2ux-u^2$ である。この接線が $P\left(t,t^3-8t^2+15t-56\right)$ を通る条件は $t^3-8t^2+15t-56=2ut-u^2$ すなわち $u^2-2tu+t^3-8t^2+15t-56=0$ である。

この二次方程式の判別式を $D$ とすると、$\frac{D}{4}=t^2-(t^3-8t^2+15t-56)=-t^3+9t^2-15t+56$ である。右辺は $(8-t)(t^2-t+7)$ と因数分解できる。$0\leqq t<8$ では $8-t>0$ であり、$t^2-t+7={\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{27}{4}>0$ だから $D>0$ である。よって点 $P$ から放物線へ異なる2本の接線が引ける。

2つの接点の $x$ 座標を $\alpha ,\beta$ とする。解と係数の関係より $\alpha +\beta =2t$ であるから、$\alpha =t-s,\beta =t+s$ と表せる。ただし $s^2=t^2-(t^3-8t^2+15t-56)=(8-t)(t^2-t+7)$ である。

左側の接線は $y=2\alpha x-{\alpha }^2$、右側の接線は $y=2\beta x-{\beta }^2$ である。放物線との差は $x^2-(2\alpha x-{\alpha }^2)=(x-\alpha {)}^2,$ $x^2-(2\beta x-{\beta }^2)=(x-\beta {)}^2$ である。2本の接線は点 $P$ で交わり、その $x$ 座標は $t$ であるから、囲まれる面積 $S$ は $S={\int }_{\alpha }^t(x-\alpha {)}^{2}dx+{\int }_t^{\beta }(x-\beta {)}^{2}dx$ である。したがって

である。

よって求める面積は $\boxed{\frac{2}{3}\{(8-t)(t^2-t+7){\}}^{3/2}}$ である。