問題
次の規則に従って座標平面を動く点がある。2個のサイコロを同時に投げて出た目の積をとする。
(i) が4の倍数ならば，点は軸方向に動く。
(ii) を4で割った余りが1ならば，点は軸方向に動く。
(iii) を4で割った余りが2ならば，点は軸方向に動く。
(iv) を4で割った余りが3ならば，点は軸方向に動く。
たとえば，2と5が出た場合にはを4で割った余りが2であるから，点は軸方向に動く。
以下のいずれの問題でも，点は原点を出発点とする。
(1) 2個のサイコロを1回投げて，点がにある確率を求めよ。
(2) 2個のサイコロを1回投げて，点がにある確率を求めよ。
(3) 2個のサイコロを3回投げて，点がにある確率を求めよ。
方針
2個のさいころの積を で割った余りごとに分類し、それぞれの移動確率を先に確定する。指定された点までの最短手数と向きを見れば、3回後の到達確率は必要な移動の並べ方として数えられる。
解答
2個のさいころの目の積を で割った余りを調べる。全事象は 通りである。
積が の倍数になるのは、少なくとも一方が で割り切れる場合、または両方が偶数で少なくとも一方が である場合を含めて数えると 通りである。したがって余り の確率は である。
余りごとに数えると、
である。問題の規則より、余り はそれぞれ への移動に対応する。
(1) 1回で に移動するには余りが であればよい。よって求める確率は である。
(2) 1回で に移動するには余りが であればよい。よって求める確率は である。
(3) 3回後に にいるためには、原点からのマンハッタン距離が であり、3回の移動も全部で 歩であるから、遠回りをする余地がない。したがって必要な移動は の3つだけである。
この3つの並べ方は 通りであり、各並べ方の確率は である。したがって求める確率は である。