北海道大学 2013年度文系数学前期第1問解答・解説

問題

$f (x) = 2 sin x cos x + sin x + cos x$ $(0 ≦ x ≦ 2 π)$ とする。

(1) $t = sin x + cos x$ とおき， $f (x)$ を $t$ の関数で表せ。

(2) $t$ の取り得る値の範囲を求めよ。

(3) $f (x)$ の最大値と最小値，およびそのときの $x$ の値を求めよ。

出典：北海道大学 2013年度前期日程第2次学力試験文系前期第1問

方針

和 $t = sin x + cos x$ にまとめると、積 $sin x cos x$ も $t^{2}$ で表せる。まず $t$ の取り得る範囲を三角関数の合成から決め、その範囲上の二次関数として最大値・最小値を調べる。最後に、極値を与える $t$ から $x$ を戻す。

解答

$t = sin x + cos x$ とおく。平方すると $t^{2} = sin^{2} x + 2 sin x cos x + cos^{2} x = 1 + 2 sin x cos x$ であるから、 $sin x cos x = \frac{t ^{2} - 1}{2}$ である。よって $f (x) = 2 sin x cos x + sin x + cos x = \frac{2}{2} (t^{2} - 1) + t$ と表せる。

また、 $t = sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})$ であり、 $0 ≦ x ≦ 2 π$ の中で $x + π /4$ は長さ $2 π$ の区間を動く。したがって $- 2 ≦ t ≦ 2$ である。

ここで $F (t) = \frac{2}{2} t^{2} + t - \frac{2}{2}$ とおくと、 $F (t)$ は下に凸の二次関数で、軸は $t = - \frac{1}{2}$ である。これは $[- 2, 2]$ に含まれるので、最小値は

F (- \frac{1}{2}) = \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = - \frac{3 2}{4}

である。このとき $2 sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2}$ より $sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2} .$ したがって $x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$ となり、 $x = \frac{11 π}{12}, \frac{19 π}{12}$ で最小値をとる。

最大値は区間の端で比べればよい。計算すると

F (2) = \frac{2}{2} \cdot 2 + 2 - \frac{2}{2} = \frac{3 2}{2},

F (- 2) = \frac{2}{2} \cdot 2 - 2 - \frac{2}{2} = - \frac{2}{2}

であるから、最大値は $\frac{3 2}{2}$ である。このとき $t = 2$ 、すなわち $sin (x + \frac{π}{4}) = 1$ だから $x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$ より $x = \frac{π}{4}$ である。

北海道大学 2013年度文系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

北海道大学 2013年度
文系数学前期第1問