北海道大学 2013年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

空間ベクトル $a = (1, 0, 0)$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を考える。 $∣ b ∣ = ∣ c ∣ = ∣ d ∣ = 1$ で， $b$ は $x y$ 平面上にあり，その $y$ 成分は正とする。また， $a \cdot b = p$ とおく。

(1) $∣ p ∣ < 1$ であることを示せ。また， $p$ を用いて $b$ の成分表示を書け。

(2) $c$ と $d$ は相異なり，

a \cdot c = a \cdot d = b \cdot c = b \cdot d = p

をみたすとする。 $c$ の $z$ 成分が正のとき， $p$ を用いて $c$ と $d$ の成分表示を書け。

(3) 上の条件に加えて $c \cdot d = p$ であるとき $p$ の値を求めよ。

出典：北海道大学 2013年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

内積条件を座標でそのまま連立する。 $b$ は $x y$ 平面上の単位ベクトルなので、まず $p$ の範囲と $b$ を決める。続いて $c$ の $x, y$ 成分を内積条件から決め、単位条件で $z$ 成分の実在条件を調べる。最後は $c \cdot d$ を $p$ で表す。

解答

(1) $b = (u, v, 0)$ とおく。 $a = (1, 0, 0)$ であるから、 $a \cdot b = u = p$ である。また $b$ は単位ベクトルなので $u^{2} + v^{2} = 1$ である。 $b$ の $y$ 成分は正だから $v = 1 - p^{2}$ でなければならない。したがって $∣ p ∣ < 1, b = (p, 1 - p^{2}, 0)$ である。

(2) $q = 1 - p^{2}$ とおき、 $c = (x, y, z)$ とする。条件 $a \cdot c = p$ より $x = p$ である。また $b \cdot c = p$ より $p^{2} + q y = p$ だから $y = \frac{p - p ^{2}}{q} = \frac{p ( 1 - p )}{1 - p ^{2}}$ である。

さらに $c$ は単位ベクトルであるから $p^{2} + \frac{p ^{2} ( 1 - p ) ^{2}}{1 - p ^{2}} + z^{2} = 1$ となる。ここで $z^{2} = 1 - p^{2} - \frac{p ^{2} ( 1 - p ) ^{2}}{1 - p ^{2}} = \frac{( 1 - p ) ( 2 p + 1 )}{p + 1}$ である。 $∣ p ∣ < 1$ のもとで $p + 1 > 0$ 、 $1 - p > 0$ だから、実数の $z$ が存在するための条件は $2 p + 1 > 0$ すなわち $- \frac{1}{2} < p < 1$ である。 $z$ 成分が正である方を $c$ 、負である方を $d$ とすれば、

c = (p, \frac{p ( 1 - p )}{1 - p ^{2}}, \frac{( 1 - p ) ( 2 p + 1 )}{p + 1}),

d = (p, \frac{p ( 1 - p )}{1 - p ^{2}}, - \frac{( 1 - p ) ( 2 p + 1 )}{p + 1})

である。

(3) 上の表示から

c \cdot d = p^{2} + \frac{p ^{2} ( 1 - p ) ^{2}}{1 - p ^{2}} - \frac{( 1 - p ) ( 2 p + 1 )}{p + 1}

である。整理すると $c \cdot d = \frac{4 p ^{2} - p - 1}{p + 1}$ となる。これが $p$ に等しいので、 $\frac{4 p ^{2} - p - 1}{p + 1} = p$ である。 $p + 1 \neq = 0$ だから $4 p^{2} - p - 1 = p^{2} + p$ すなわち $3 p^{2} - 2 p - 1 = 0$ を得る。よって $(3 p + 1) (p - 1) = 0$ である。 $p = 1$ は $p < 1$ に反するので、求める値は $p = - \frac{1}{3}$ である。

北海道大学 2013年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

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文系数学前期第3問