北海道大学 2012年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

次の問に答えよ。

(1) $x ≦ 0$ のとき， $1 + x ≦ e^{x} ≦ 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}$ であることを示せ。

(2) $n$ を自然数とする。正の数 $a$ が $a^{10^{n}} = \frac{1}{2}$ を満たすとき，不等式

e^{- 0.70 \times 10^{- n}} < a < e^{- 0.69 \times 10^{- n}}

を示せ。必要ならば，2の自然対数 $lo g 2$ が $0.69 < lo g 2 < 0.70$ を満たすことを用いてもよい。

(3) (2)で与えた $a$ について，不等式

0.9 \dots 93 < a < 0.9 \dots 94

を示せ。ここで， $0.9 \dots 93$ は，小数点以下に9が $n$ 個続き，その次に3が現れる小数である。

出典：北海道大学 2012年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

(1)は $e^{x}$ を上下から評価する補助関数を作り、 $x ≦ 0$ での微分の符号を追う。(2)は $a^{1 0^{n}} = 1/2$ の両辺の対数を取り、 $0.69 < lo g 2 < 0.70$ から $lo g a$ の範囲を得て指数関数の単調性で戻す。(3)は $h = 1 0^{- n}$ と置き、(1)を $- 0.70 h$ 、 $- 0.69 h$ に適用して、 $1 - 0.70 h < a < 1 - 0.60 h$ を示す。これを小数点以下に9が続く表記へ読み替える。

解答

(1)

まず $h (x) = e^{x} - 1 - x$ とおく。 $x ≦ 0$ では $h^{'} (x) = e^{x} - 1 ≦ 0$ である。 $h (0) = 0$ であり、 $h$ は $(- \infty, 0]$ で減少しながら0に至るので、 $x ≦ 0$ で $h (x) ≧ 0$ である。したがって $1 + x ≦ e^{x}$ である。

次に $k (x) = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} - e^{x}$ とおく。すると $k^{''} (x) = 1 - e^{x} ≧ 0 (x ≦ 0)$ である。よって $k^{'} (x)$ は $(- \infty, 0]$ で増加し、 $k^{'} (0) = 0$ だから $x ≦ 0$ で $k^{'} (x) ≦ 0$ である。さらに $k (0) = 0$ なので、 $x ≦ 0$ で $k (x) ≧ 0$ である。したがって $e^{x} ≦ 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}$ である。

以上より $1 + x ≦ e^{x} ≦ 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} (x ≦ 0)$ が示された。

(2)

$a^{1 0^{n}} = 1/2$ で $a > 0$ だから、両辺の自然対数を取ると $1 0^{n} lo g a = - lo g 2$ である。したがって $lo g a = - (lo g 2) 1 0^{- n}$ である。 $0.69 < lo g 2 < 0.70$ より、負号を付けると不等号の向きが反転して $- 0.70 < - lo g 2 < - 0.69$ である。よって $- 0.70 \times 1 0^{- n} < lo g a < - 0.69 \times 1 0^{- n}$ である。指数関数は増加関数なので $e^{- 0.70 \times 1 0^{- n}} < a < e^{- 0.69 \times 1 0^{- n}}$ を得る。

(3)

$h = 1 0^{- n}$ とおく。 $n$ は自然数なので $0 < h ≦ 1/10$ である。

(2)より $e^{- 0.70 h} < a < e^{- 0.69 h}$ である。(1)の左側の不等式を $x = - 0.70 h$ に用いると $e^{- 0.70 h} ≧ 1 - 0.70 h$ であり、実際には $h > 0$ なので $e^{- 0.70 h} > 1 - 0.70 h$ である。したがって $a > 1 - 0.70 h$ である。

また、(1)の右側の不等式を $x = - 0.69 h$ に用いると $e^{- 0.69 h} ≦ 1 - 0.69 h + \frac{( 0.69 ) ^{2}}{2} h^{2}$ である。ここで $h ≦ 1/10$ より $\frac{( 0.69 ) ^{2}}{2} h^{2} < 0.09 h$ であるから $e^{- 0.69 h} < 1 - 0.60 h$ である。したがって $a < 1 - 0.60 h$ である。

以上より $1 - 0.70 \times 1 0^{- n} < a < 1 - 0.60 \times 1 0^{- n}$ である。ここで

1 - 0.70 \times 1 0^{- n} = 1 - 7 \times 1 0^{- (n + 1)} = 0. n 個 99 \dots 9 3

であり、

1 - 0.60 \times 1 0^{- n} = 1 - 6 \times 1 0^{- (n + 1)} = 0. n 個 99 \dots 9 4

である。したがって $0.9 \dots 93 < a < 0.9 \dots 94$ が示された。

北海道大学 2012年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2012年度
後期・理系数学後期第4問