北海道大学 2012年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$n$ を3以上の整数とする。1から $3 n$ までの番号が書かれた $3 n$ 枚のカードを $A$ さん， $B$ さん， $C$ さんの3人に $n$ 枚ずつ配る。

(1) カードの配り方は何通りあるか。

(2) $A$ さんのカードの番号の最小値が $n + 1$ で， $B$ さんのカードの番号の最小値が $2 n - 1$ である配り方は何通りあるか。

出典：北海道大学 2012年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1)はAの $n$ 枚を選び、残りからBの $n$ 枚を選べばCは自動的に決まる。(2)では、Aの最小値が $n + 1$ なのでカード $1, \dots, n$ はAに渡せず、Bの最小値が $2 n - 1$ なのでカード $1, \dots, 2 n - 2$ はBに渡せない。特に $1, \dots, n$ はすべてCに渡るため、Bの選び方を決めればAとCが強制される。

解答

(1)

1から $3 n$ までの $3 n$ 枚のカードから、まずAさんに渡す $n$ 枚を選ぶ。これは $_{3 n} C_{n}$ 通りである。次に、残った $2 n$ 枚からBさんに渡す $n$ 枚を選ぶ。これは $_{2 n} C_{n}$ 通りである。AさんとBさんのカードが決まればCさんのカードは自動的に決まるので、求める配り方は $_{3 n} C_{n}_{2 n} C_{n}$ 通りである。

(2)

Aさんのカードの番号の最小値が $n + 1$ であるから、Aさんはカード $n + 1$ を持ち、カード $1, 2, \dots, n$ は持たない。またBさんのカードの番号の最小値が $2 n - 1$ であるから、Bさんはカード $2 n - 1$ を持ち、カード $1, 2, \dots, 2 n - 2$ は持たない。

したがってカード $1, 2, \dots, n$ はAさんにもBさんにも渡せないので、すべてCさんに渡る。Cさんはこれで $n$ 枚を持つため、残りのカードはAさんとBさんだけで分けることになる。

Bさんはカード $2 n - 1$ を必ず持つ。残りの $n - 1$ 枚は、 $2 n - 1$ より大きいカード $2 n, 2 n + 1, \dots, 3 n$ の $n + 1$ 枚から選べばよい。よってBさんの選び方は $_{n + 1} C_{n - 1} =_{n + 1} C_{2}$ 通りである。

Bさんのカードが決まると、残ったカードのうちCさんに渡った $1, 2, \dots, n$ 以外はすべてAさんに渡る。これには必ず $n + 1$ が含まれ、Aさんの最小値条件も満たす。したがって求める配り方は $_{n + 1} C_{2} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 通りである。

北海道大学 2012年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2012年度
後期・理系数学後期第1問