問題
平面上に2点，をとる。，と異なる点は，がまたはとなるように動くものとする。
(1) とおく。との満たす条件をとの式で表せ。
(2) 点の軌跡を図示せよ。
(3) 点を考える。線分の長さの最小値を求めよ。
出典：北海道大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
角 と は、内積の絶対値と平行四辺形の面積成分の絶対値が等しい条件 に直せる。そこから を得て2つの円を図示する。(3)は点 から各円の中心までの距離を比べ、点と円の最短距離で求める。
解答
(1)
である。内積は である。また、2つのベクトルが作る平行四辺形の面積成分の絶対値は である。
角が または であることは、 と同値である。したがって である。 とおくと である。
(2)
(1)の2式をそれぞれ整理すると または である。すなわち または である。
したがって点 の軌跡は、中心 、半径 の円と、中心 、半径 の円を合わせたものである。ただし問題文で は と異なるとされているので、点 は除く。図示では、この2つの円を描き、交点 を白丸で除けばよい。
(3)
点 から中心 までの距離は である。したがって円 までの最短距離は である。
一方、点 から中心 までの距離は である。したがってもう一方の円までの最短距離は であり、これは より大きい。
また、上側の円で に最も近い点は中心 と を結ぶ直線上にあり、除外された ではない。よって求める最小値は である。
別解。 を弦とし、 または となる点 は、円周角の定理から、弦 を同じ角で見る円周上にある。半径を とすると より である。中心は の垂直二等分線である 軸上にあり、 からの距離が になるので 、 の2点である。したがって同じ2円が得られる。