問題
実数について，とする。ただし，は自然対数の底とする。
(1) をを用いて表せ。
(2) の最小値，およびそのときのの値を求めよ。
出典：北海道大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
となる点は であり、この点が積分区間 の左、右、内部のどこにあるかで絶対値を外す。両端の場合は符号が一定なので直接積分し、中央の場合は と に分ける。(2)は端の2場合では単調、中央の場合では微分してただ1つの停留点を調べ、端点値も比較して全体の最小を決める。
解答
(1)
となるのは である。この点が積分区間 に対してどこにあるかで場合分けする。 のとき、 なので、 で である。したがって である。 より である。 のとき、 なので、 で である。したがって である。 のとき、 であり、 では 、 では である。よって
である。全体の積分は であり、また
である。したがって すなわち である。
以上より
である。
(2)
まず では であり、これは とともに増加する。したがってこの範囲での最小値は のときの である。
また では であり、これは とともに減少する。したがってこの範囲での最小値は のときの である。
中央の範囲 では である。微分すると である。したがって停留点は である。この値は を満たす。また はこの点の前で負、後で正になるので、ここで中央範囲の最小をとる。
その値は である。よって である。中央範囲の端点値は、 で 、 で である。上で見たように は の前で負、後で正なので、この内部の値は両端の値より小さい。したがって全体の最小値は であり、そのとき である。