北海道大学 2011年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$0 < a < 2 π$ とする． $0 < x < 2 π$ に対して $F (x) = \int_{x}^{x + a} 1 - cos θ d θ$ と定める．

(1) $F^{'} (x)$ を求めよ．

(2) $F^{'} (x) ≦ 0$ となる $x$ の範囲を求めよ．

(3) $F (x)$ の極大値および極小値を求めよ．

出典：北海道大学 2011年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

(1) は積分の上端・下端がともに $x$ で動くので、上端の integrand から下端の integrand を引く。(2) は平方根が非負であることから、 $F^{'} (x) ≦ 0$ を $cos (x + a) ≧ cos x$ に直し、差積公式で符号を調べる。(3) は増減から極大点・極小点を決め、 $1 - cos h e t a = 2 ∣ sin (h e t a /2) ∣$ を用いて、それぞれ $π$ 中心、 $2 π$ 中心の対称区間の積分を計算する。

解答

(1)

$h (θ) = 1 - cos θ$ とおくと $F (x) = \int_{x}^{x + a} h (θ) d θ$ である。上端と下端がともに $x$ によって動くので、 $F^{'} (x) = h (x + a) - h (x)$ である。したがって $F^{'} (x) = 1 - cos (x + a) - 1 - cos x$ である。

(2)

平方根の中身は非負であるから、 $F^{'} (x) ≦ 0$ は $1 - cos (x + a) ≦ 1 - cos x$ と同値であり、さらに $1 - cos (x + a) ≦ 1 - cos x$ すなわち $cos (x + a) ≧ cos x$ と同値である。

差積公式を使うと $cos (x + a) - cos x = - 2 sin (x + \frac{a}{2}) sin \frac{a}{2}$ である。 $0 < a < 2 π$ だから $sin \frac{a}{2} > 0$ である。よって $F^{'} (x) ≦ 0$ となる条件は $sin (x + \frac{a}{2}) ≦ 0$ である。

$0 < x < 2 π$ では $\frac{a}{2} < x + \frac{a}{2} < 2 π + \frac{a}{2}$ であり、この範囲で正弦が0以下になるのは $π ≦ x + \frac{a}{2} ≦ 2 π$ のときである。したがって $π - \frac{a}{2} ≦ x ≦ 2 π - \frac{a}{2}$ である。

(3)

(2)より、 $F (x)$ は $0 < x < π - \frac{a}{2}$ で増加し、 $π - \frac{a}{2} < x < 2 π - \frac{a}{2}$ で減少し、さらに $2 π - \frac{a}{2} < x < 2 π$ で増加する。したがって極大となるのは $x = π - \frac{a}{2}$ であり、極小となるのは $x = 2 π - \frac{a}{2}$ である。

ここで $1 - cos θ = 2 sin^{2} \frac{θ}{2}$ より $1 - cos θ = 2 ∣ sin \frac{θ}{2} ∣$ である。

極大値は

F (π - \frac{a}{2}) = \int_{π - a /2}^{π + a /2} 2 sin \frac{θ}{2} d θ

である。この区間は $(0, 2 π)$ に含まれるので、 $sin (θ /2)$ は非負である。よって

F (π - \frac{a}{2}) = 2 [- 2 cos \frac{θ}{2}]_{π - a /2}^{π + a /2} = 42 sin \frac{a}{4}

である。

極小値は

F (2 π - \frac{a}{2}) = \int_{2 π - a /2}^{2 π + a /2} 2 ∣ sin \frac{θ}{2} ∣ d θ

である。 $2 π$ を境に絶対値の符号が変わるので、対称性から

F (2 π - \frac{a}{2}) = 2 \int_{2 π - a /2}^{2 π} 2 sin \frac{θ}{2} d θ

である。したがって

F (2 π - \frac{a}{2}) = 22 [- 2 cos \frac{θ}{2}]_{2 π - a /2}^{2 π} = 42 (1 - cos \frac{a}{4})

である。

よって極大値は $42 sin \frac{a}{4}$ 極小値は $42 (1 - cos \frac{a}{4})$ である。

北海道大学 2011年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2011年度
理系数学前期第5問