問題
実数に対してを満たす整数をで表す．たとえば，，，である．
(1) を満たす整数をすべて求めよ．
(2) を満たす実数の範囲を求めよ．
(3) は(2)で求めた範囲にあるものとする．を満たすをすべて求めよ．
出典：北海道大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
(1) は二次不等式の解区間を求め、その中に入る整数を拾う。(2) は整数部分 を整数として (1) の結果を使い、 を の区間へ戻す。(3) は と に分けて方程式を解き、候補が対応する区間に入っているかを確認する。
解答
(1)
方程式 の解は である。二次式の係数は正なので、 のときに不等式 が成り立つ。
ここで であるから、この範囲に入る整数は である。
(2)
は整数であるから、(1)より をみたすには であることが必要十分である。
は を意味し、 は を意味する。したがって求める範囲は である。
(3)
(2)より または である。
まず のとき、 であり、方程式は となる。候補は であるが、 なので をみたさない。したがってこの場合に解はない。
次に のとき、 であり、方程式は すなわち となる。 は正なので であり、これは をみたす。
よって求める解は である。