問題
次の問いに答えよ．
(1) 平面上の3点，，を通る円の方程式を求めよ．
(2) が実数全体を動くとき，空間内の点がつくる直線をとする．3点，，を通り、中心をとする球面が直線と共有点をもつとき，，，の満たす条件を求めよ．
出典：北海道大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
(1) は原点を通る円として とおき、A,Bを代入して係数を決める。(2) は球が を通る条件から中心の 座標をまず決める。残った について、球の半径と中心から直線 までの最短距離を比較する。直線上の点を と置き、距離の2乗を の二次式として最小化する。
解答
(1)
求める円は原点Oを通るので、一般形を とおける。
点 を代入すると であり、点 を代入すると である。これらを解くと である。したがって円の方程式は である。
(2)
球面Sの中心を とする。Sが3点 を通るので、中心Cからそれぞれの点までの距離が等しい。
まず より である。整理すると を得る。同様に より なので である。これらを解くと である。
このとき球の半径の2乗は
である。
直線 上の点は と表される。中心 からこの点までの距離の2乗を とおくと すなわち である。
Sが直線 と共有点をもつための条件は、 の最小値が 以下であることである。 を整理して最小化すると であり、最小値は である。
よって条件は
である。整理すると すなわち である。
したがって求める条件は である。