北海道大学 2011年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

(1)

倍角公式 $\cos 2u=2{\cos }^{2}u-1$ を用いる。$n=1$ では $x_1=\cos \left(\frac{2\pi }{p}\right)=\cos \left(\frac{2^1\pi }{p}\right)$ である。

いま $x_n=\cos \left(\frac{2^n\pi }{p}\right)$ と仮定すると、漸化式より

である。したがって帰納法により $x_n=\cos \left(\frac{2^n\pi }{p}\right)$ である。

(2)

まず $p=2^l$ の場合を考える。(1)より $x_n=\cos \left(\frac{2^n\pi }{2^l}\right)=\cos \left(2^{n-l}\pi \right)$ である。$n\geqq l+1$ なら $2^{n-l}\pi$ は $2\pi$ の整数倍なので $x_n=1$ である。よって ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=1$ である。

次に $p=3\times 2^l$ の場合を考える。このとき $x_n=\cos \left(\frac{2^{n-l}\pi }{3}\right)$ である。$n\geqq l+1$ では、$2^{n-l}$ は3で割ると1または2を交互に余りとして持つので、角は $2\pi$ の整数倍を除いて $\frac{2\pi }{3}extまたは\frac{4\pi }{3}$ である。どちらも余弦は $-\frac{1}{2}$ である。したがって ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=-\frac{1}{2}$ である。

(3)

$p=5\times 2^l$ とする。(1)より $x_n=\cos \left(\frac{2^{n-l}\pi }{5}\right)$ である。$n\geqq l+1$ とすると、$2^{n-l}$ を10で割った余りは $2,4,8,6,2,4,8,6,\dots$ と周期的に現れる。

したがって $x_n$ は、十分大きい $n$ について

を周期的にとる。このうち

であるから、結局 $\cos \frac{2\pi }{5}extと\cos \frac{4\pi }{5}$ という2つの値を交互に取る。

この2つは異なる値である。たとえば $0<\frac{2\pi }{5}<\frac{\pi }{2}<\frac{4\pi }{5}<\pi$ なので $\cos \frac{2\pi }{5}>0,\cos \frac{4\pi }{5}<0$ である。したがって数列 $\{x_n\}$ は1つの値に収束しない。よって発散する。