北海道大学 2011年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$0 ≦ θ < π$ に対して，行列 $(cos θ sin θ sin θ - cos θ)$ で表される1次変換を $f$ とし，点 $P$ の $f$ による像を $f (P)$ で表す。

(1) 点 $Q (cos \frac{θ}{2}, sin \frac{θ}{2})$ に対して， $f (Q)$ の座標を求めよ。

(2) 点 $R (sin \frac{θ}{2}, - cos \frac{θ}{2})$ に対して， $f (R)$ の座標を求めよ。

(3) $f$ は直線 $y = (tan \frac{θ}{2}) x$ に関する対称移動であることを示せ。

出典：北海道大学 2011年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

$u = h e t a /2$ とおき、点Qを対称軸方向の単位ベクトル、点Rをそれに垂直な単位ベクトルとして見る。(1)(2) では加法定理を使って、Qは固定され、Rは符号反転することを計算で示す。(3) は任意の点をQ方向成分とR方向成分に分解できることから、Q方向は保ち、垂直方向だけ反転する変換、すなわち直線 $y = (an (h e t a /2)) x$ に関する対称移動であると結論する。

解答

(1)

$u = \frac{θ}{2}$ とおく。すると $Q = (cos u, sin u)$ である。行列で写すと

f (Q) = (cos θ cos u + sin θ sin u, sin θ cos u - cos θ sin u)

である。

加法定理より $cos θ cos u + sin θ sin u = cos (θ - u) = cos u$ であり、 $sin θ cos u - cos θ sin u = sin (θ - u) = sin u$ である。したがって $f (Q) = (cos u, sin u) = Q$ である。

(2)

同じく $u = θ /2$ とおくと $R = (sin u, - cos u)$ である。よって

f (R) = (cos θ sin u - sin θ cos u, sin θ sin u + cos θ cos u)

である。

第1成分は $cos θ sin u - sin θ cos u = - sin (θ - u) = - sin u$ であり、第2成分は $sin θ sin u + cos θ cos u = cos (θ - u) = cos u$ である。したがって $f (R) = (- sin u, cos u) = - R$ である。

(3)

点Qは $Q = (cos \frac{θ}{2}, sin \frac{θ}{2})$ であるから、原点を通る直線 $y = (tan \frac{θ}{2}) x$ の方向を表している。また点Rは $R = (sin \frac{θ}{2}, - cos \frac{θ}{2})$ であり、 $Q \cdot R = cos u sin u + sin u (- cos u) = 0$ だから、Q方向に垂直な方向を表している。

(1)より $f$ はQ方向の点を動かさず、(2)よりR方向の点を反対向きに移す。任意の点は、Q方向成分とR方向成分の和として一意に表せるので、 $f$ は直線 $y = (tan \frac{θ}{2}) x$ に平行な成分を保ち、それに垂直な成分だけ符号を変える。

したがって $f$ は直線 $y = (tan \frac{θ}{2}) x$ に関する対称移動である。

北海道大学 2011年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2011年度
後期・理系数学後期第1問