問題
を実数とし，に対して，と定める。ただし，は自然対数の底である。
(1) の範囲にを満たすがただ1つ存在するためのの範囲を求めよ。
(2) が(1)の範囲にあるとき，(1)で定まるをとする。積分の値をを用いて表せ。
(3) が(1)の範囲にあるとき，積分の値が最小となるを求めよ。
出典：北海道大学 2011年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
では が に同値なので、(1) は の値域で決まる。(2) は交点を とおき、、 を使って部分積分する。(3) は と で絶対値を外し、面積を の関数に変える。最小化は、一定項から引かれる を最大化する問題になる。
解答
(1)
では である。したがって は であり、両辺を で割って と同値である。
関数 は で単調に減少し、値は の範囲を動く。したがって、解がただ1つ存在するための の範囲は である。
(2)
(1)で定まる解を とする。このとき である。
部分積分により である。よって であり、 となる。、 を代入すると である。
(3)
では なので である。一方、 では である。したがって とおくと である。
これは と書ける。まず である。 より である。
また だから である。
したがって である。ここで は に対応する。よって を最小にするには を最大にすればよい。
微分すると である。したがって は で増加し、 で減少する。最大は のときである。
よって求める は である。