北海道大学 2011年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$a$ を実数とする。 $x y z$ 空間内の4点を $A (0, a, 4)$ ， $B (- 2, 0, 3)$ ， $C (1, 0, 2)$ ， $D (0, 2, 3)$ とし，点 $P (1, 0, 6)$ に光源をおく。

(1) 光源が $x y$ 平面上につくる点 $A$ の影の座標を求めよ。また， $a$ が実数全体にわたって変化するとき，その影がつくる直線の方程式を求めよ。

(2) 光源が $x y$ 平面上につくる三角形 $B C D$ の影は三角形となる。この三角形の頂点の座標を求めよ。

(3) $a < 5$ とする。光源が $x y$ 平面上につくる四面体 $A B C D$ の影を考える。この影が三角形となるような $a$ の範囲を求めよ。

出典：北海道大学 2011年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

光源Pと点Xを結ぶ直線を $P + λ (X - P)$ とおき、 $z = 0$ となる $λ$ を求めて影を出す。(1)(2) は各点についてこの計算を行う。(3) は4点の影の凸包が三角形になる条件を平面上で判定する。固定された $B^{'}, C^{'}, D^{'}$ の三角形に動点 $A^{'} = (- 2, 3 a)$ が入る場合と、 $A^{'}$ が上に出た後に $D^{'}$ が三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ の内部または辺上に入る場合を分ける。 $a < 5$ も最後に合わせる。

解答

空間内の点 $X (x, y, z)$ の影は、光源 $P (1, 0, 6)$ とXを結ぶ直線が $x y$ 平面、すなわち $z = 0$ と交わる点である。直線上の点を $P + λ (X - P)$ と表すと、 $z$ 座標は $6 + λ (z - 6)$ である。これを0にして影を求める。

(1)

$A (0, a, 4)$ については $6 + λ (4 - 6) = 0$ より $λ = 3$ である。したがって影 $A^{'}$ は $(1, 0) + 3 {(0, a) - (1, 0)} = (- 2, 3 a)$ である。

$a$ が実数全体を動くとき、 $A^{'}$ の $x$ 座標は常に $- 2$ で、 $y = 3 a$ はすべての実数を動く。よって影がつくる直線は $x = - 2$ である。

(2)

$B (- 2, 0, 3)$ については $6 + λ (3 - 6) = 0$ より $λ = 2$ である。したがって $B^{'} = (1, 0) + 2 {(- 2, 0) - (1, 0)} = (- 5, 0)$ である。

$C (1, 0, 2)$ については $6 + λ (2 - 6) = 0$ より $λ = 3/2$ である。したがって $C^{'} = (1, 0) + \frac{3}{2} {(1, 0) - (1, 0)} = (1, 0)$ である。

$D (0, 2, 3)$ については $λ = 2$ であり、 $D^{'} = (1, 0) + 2 {(0, 2) - (1, 0)} = (- 1, 4)$ である。

よって三角形BCDの影の頂点は $B^{'} (- 5, 0), C^{'} (1, 0), D^{'} (- 1, 4)$ である。

(3)

(1)(2)より $A^{'} = (- 2, 3 a), B^{'} = (- 5, 0), C^{'} = (1, 0), D^{'} = (- 1, 4)$ である。四面体の影は、これら4点のつくる凸包である。これが三角形になるのは、4点のうち1点が他の3点でできる三角形の内部または辺上にあるときである。

まず、 $A^{'}$ が三角形 $B^{'} C^{'} D^{'}$ の内部または辺上にある条件を求める。三角形 $B^{'} C^{'} D^{'}$ の辺は $B^{'} C^{'} : y = 0, C^{'} D^{'} : y = - 2 x + 2, D^{'} B^{'} : y = x + 5$ である。 $A^{'}$ は直線 $x = - 2$ 上にある。この直線上で、三角形 $B^{'} C^{'} D^{'}$ の内部または辺上にある点の $y$ 座標は $0 ≦ y ≦ 3$ である。したがって $0 ≦ 3 a ≦ 3$ すなわち $0 ≦ a ≦ 1$ のとき、影は三角形 $B^{'} C^{'} D^{'}$ になる。

次に $a > 1$ の場合を考える。このとき $A^{'}$ は三角形 $B^{'} C^{'} D^{'}$ の上側に出る。影が三角形になるには、固定点のうち $D^{'}$ が三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ の内部または辺上に入ればよい。三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ で、 $x = - 1$ における上側の境界は辺 $A^{'} C^{'}$ である。A'とC'を結ぶ直線上で $x = - 1$ の点を求めると、その $y$ 座標は $2 a$ である。したがって $D^{'} (- 1, 4)$ が三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ の内部または辺上に入る条件は $4 ≦ 2 a$ すなわち $a ≧ 2$ である。

一方、 $a < 0$ の場合は、 $A^{'}$ は底辺 $B^{'} C^{'}$ の下側にあり、 $B^{'}$ は最も左、 $C^{'}$ は最も右、 $D^{'}$ は上側の点であるため、4点はいずれも他の3点の三角形に入らず、影は四角形になる。

問題の条件 $a < 5$ と合わせると、求める範囲は $0 ≦ a ≦ 1, 2 ≦ a < 5$ である。

北海道大学 2011年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2011年度
後期・理系数学後期第2問