北海道大学 2010年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

2本の当たりくじを含む102本のくじを，1回に1本ずつ，くじがなくなるまで引き続けることにする．

(1) $n$ 回目に1本目の当たりくじが出る確率を求めよ．

(2) $A$ ， $B$ ， $C$ の3人が， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $A$ ， $\dots\dots$ の順に，このくじ引きを行うとする．1本目の当たりくじを $A$ が引く確率を求めよ． $B$ と $C$ についても，1本目の当たりくじを引く確率を求めよ．

出典：北海道大学 2010年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

くじを順に引く過程を直接追うのではなく，2本の当たりが102個の位置のどこにあるかを先に決める。最初の当たりの位置の分布を求め，その位置を3で割った余りによって A，B，C の誰が引くかを分類する。

解答

2本の当たりくじが，102本のうちどの2つの位置にあるかで考える。2本の当たりの位置の組は $(2 102) = 5151$ 通りで，いずれも同様に確からしい。

(1) 最初の当たりが $n$ 番目であるとは，2本の当たりのうち小さい方の位置が $n$ であるということである。このとき，もう1本の当たりは $n + 1, n + 2, \dots, 102$ のいずれかにある。したがって可能な位置は $102 - n$ 通りである。

よって

P (最初の当たりが n 番目) = \frac{102 - n}{( 2 102 )} = \frac{102 - n}{5151}

である。ただし $1 \leq n \leq 101$ であり， $n = 102$ では最初の当たりにはなれない。

(2) A，B，C がこの順に1本ずつ引くので，最初の当たりの位置が $1, 4, 7, \dots$ なら A， $2, 5, 8, \dots$ なら B， $3, 6, 9, \dots$ なら C が最初に当たりを引く。

したがって A が勝つ確率は

P_{A} = k = 0 \sum 33 \frac{102 - ( 1 + 3 k )}{5151} = \frac{1}{5151} k = 0 \sum 33 (101 - 3 k) .

ここで項数は34個だから

k = 0 \sum 33 (101 - 3 k) = 34 \cdot 101 - 3 \cdot \frac{33 \cdot 34}{2} = 3434 - 1683 = 1751.

よって $P_{A} = \frac{1751}{5151} .$ B が勝つ確率は

P_{B} = k = 0 \sum 33 \frac{102 - ( 2 + 3 k )}{5151} = \frac{1}{5151} k = 0 \sum 33 (100 - 3 k) .

したがって $\sum_{k = 0}^{33} (100 - 3 k) = 34 \cdot 100 - 1683 = 1717$ より $P_{B} = \frac{1717}{5151} = \frac{1}{3} .$ C が勝つ確率は，最初の当たりの位置が $3, 6, \dots, 99$ の場合である。すなわち

P_{C} = k = 0 \sum 32 \frac{102 - ( 3 + 3 k )}{5151} = \frac{1}{5151} k = 0 \sum 32 (99 - 3 k) .

よって

k = 0 \sum 32 (99 - 3 k) = 33 \cdot 99 - 3 \cdot \frac{32 \cdot 33}{2} = 3267 - 1584 = 1683.

したがって $P_{C} = \frac{1683}{5151} .$ 以上より

P_{A} = \frac{1751}{5151}, P_{B} = \frac{1}{3}, P_{C} = \frac{1683}{5151}

である。実際に $1751 + 1717 + 1683 = 5151$ となり，3人の確率の和は1である。

北海道大学 2010年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

北海道大学 2010年度
理系数学前期第5問