北海道大学 2010年度
理系数学 前期 第4問

解答

(1) 部分積分を用いる。 $\int t{e}^{t}dt$ では $u=t$，$dv=e^{t}dt$ とすると $I_1=t{e}^t-\int e^{t}dt=(t-1)e^t+C$ である。

同様に $\int t^2{e}^{t}dt$ では $u=t^2$，$dv=e^{t}dt$ として $I_2=t^2{e}^t-\int 2t{e}^{t}dt.$ 上で求めた積分を使えば $I_2=t^2{e}^t-2(t-1)e^t+C=(t^2-2t+2)e^t+C$ である。したがって $\boxed{I_1=(t-1)e^t+C,I_2=(t^2-2t+2)e^t+C}$ である。

(2) $0\le x\le 1$ のとき，絶対値を外すために積分区間を $0\le t\le x$ と $x\le t\le 1$ に分ける。 $f(x)={\int }_0^x{e}^{-(x-t)}t(1-t)dt+{\int }_x^1{e}^{-(t-x)}t(1-t)dt.$ すなわち $f(x)=e^{-x}{\int }_0^x{e}^t(t-t^2)dt+e^x{\int }_x^1{e}^{-t}(t-t^2)dt.$ 第1項は (1) の結果から計算できる。第2項も $e^{-t}$ に対して同様に部分積分してよい。整理すると $\boxed{f(x)=-2x^2+2x-4+3(e^{-x}+e^{x-1})}$ となる。

途中計算を確認しておくと，$\int e^t(t-t^2)dt=(t-1)e^t-(t^2-2t+2)e^t=(-t^2+3t-3)e^t$ であり，$\int e^{-t}(t-t^2)dt=(t^2+t+1)e^{-t}+C$ である。これを上下端に代入すれば上の式を得る。

(3) まず $f$ は対称性をもつ。もとの定義で $t=1-u$ と置換すると，$t(1-t)=u(1-u)$ であり，$|t-(1-x)|=|u-x|$ となるので $f(1-x)=f(x)$ である。したがって最大値を調べるには $0\le x\le 1/2$ を考えれば十分である。

(2) の式を微分すると $f^{\prime }(x)=-4x+2+3(e^{x-1}-e^{-x}).$ $0\le x\le 1/2$ に対して $u=\frac{1}{2}-x(0\le u\le 1/2)$ とおくと，$f^{\prime }(x)=4u-3e^{-1/2}(e^u-e^{-u}).$ よって $f^{\prime }(x)\ge 0$ を示せば，$f$ は $[0,1/2]$ で増加し，対称性から $x=1/2$ で最大となる。

そこで $\varphi (u)=4u-3e^{-1/2}(e^u-e^{-u})$ とおく。すると $\varphi (0)=0,$ また

である。さらに ${\varphi }^{\prime \prime }(u)=-3e^{-1/2}(e^u-e^{-u})\le 0(0\le u\le 1/2)$ であるから，$\varphi$ はこの区間で上に凸である。上に凸な関数は端点を結ぶ線分より上にあるので，端点がともに0以上であることから $\varphi (u)\ge 0$ が従う。したがって $0\le x\le 1/2$ で $f^{\prime }(x)\ge 0$ であり，$f$ はこの区間で増加する。

対称性 $f(1-x)=f(x)$ と合わせて，最大値を与える点は $\boxed{x=\frac{1}{2}}$ である。