北海道大学 2010年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

正の実数 $r$ と $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$ の範囲の実数 $θ$ に対して $a_{0} = r cos θ$ ， $b_{0} = r$ とおく． $a_{n}$ ， $b_{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots\dots)$ を漸化式 $a_{n} = \frac{a _{n - 1} + b _{n - 1}}{2}$ ， $b_{n} = a_{n} b_{n - 1}$ により定める．以下の問いに答えよ．

(1) $\frac{a _{1}}{b _{1}}$ ， $\frac{a _{2}}{b _{2}}$ を $θ$ で表せ．

(2) $\frac{a _{n}}{b _{n}}$ を $n$ と $θ$ で表せ．

(3) $θ \neq = 0$ のとき $n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim b_{n} = \frac{r sin θ}{θ}$ を示せ．

出典：北海道大学 2010年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

半角公式を使って最初の2段を計算し， $a_{n} / b_{n}$ が角度を半分にしていく形であることを帰納的に示す。極限では $b_{n}$ を余弦の積で表し，倍角公式を繰り返してその積を $sin θ$ と結びつける。最後は標準極限 $sin x / x \to 1$ を用いる。

解答

(1) まず $a_{1}, b_{1}$ を計算する。定義より

a_{1} = \frac{a _{0} + b _{0}}{2} = \frac{r cos θ + r}{2} = r \frac{1 + cos θ}{2} .

半角公式 $\frac{1 + c o s θ}{2} = cos^{2} \frac{θ}{2}$ を用いると $a_{1} = r cos^{2} \frac{θ}{2} .$ また

b_{1} = a_{1} b_{0} = r^{2} cos^{2} \frac{θ}{2} = r cos \frac{θ}{2}

である。ここで $- π /2 < θ < π /2$ だから $cos (θ /2) > 0$ である。よって $\frac{a _{1}}{b _{1}} = cos \frac{θ}{2} .$ 同様に， $a_{2}$ は

a_{2} = \frac{a _{1} + b _{1}}{2} = \frac{r cos ^{2} ( θ /2 ) + r cos ( θ /2 )}{2} = r cos \frac{θ}{2} \cdot \frac{1 + cos ( θ /2 )}{2}

である。したがって $a_{2} = r cos \frac{θ}{2} cos^{2} \frac{θ}{4} .$ また

b_{2} = a_{2} b_{1} = r^{2} cos^{2} \frac{θ}{2} cos^{2} \frac{θ}{4} = r cos \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{4} .

よって $\frac{a _{2}}{b _{2}} = cos \frac{θ}{4} .$ (2) 一般に $\frac{a _{n - 1}}{b _{n - 1}} = cos ϕ$ と書けるとする。このとき

a_{n} = \frac{a _{n - 1} + b _{n - 1}}{2} = b_{n - 1} \frac{1 + \frac{a _{n - 1}}{b _{n - 1}}}{2} = b_{n - 1} \frac{1 + cos ϕ}{2} = b_{n - 1} cos^{2} \frac{ϕ}{2} .

さらに $b_{n} = a_{n} b_{n - 1} = b_{n - 1} cos \frac{ϕ}{2}$ である。したがって $\frac{a _{n}}{b _{n}} = cos \frac{ϕ}{2} .$ (1) の結果から帰納的に $\frac{a _{n}}{b _{n}} = cos \frac{θ}{2 ^{n}}$ である。

(3) (2) の計算から， $b_{n}$ の形も分かる。実際， $b_{n} = b_{n - 1} cos \frac{θ}{2 ^{n}}$ なので， $b_{0} = r$ より $b_{n} = r \prod_{k = 1}^{n} cos \frac{θ}{2 ^{k}}$ である。また $a_{n} = b_{n} cos \frac{θ}{2 ^{n}}$ である。

積を評価するために，倍角公式を繰り返す。 $sin θ = 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}$ をさらに繰り返すと

sin θ = 2^{n} sin \frac{θ}{2 ^{n}} k = 1 \prod n cos \frac{θ}{2 ^{k}}

となる。したがって $θ \neq = 0$ のとき

k = 1 \prod n cos \frac{θ}{2 ^{k}} = \frac{sin θ}{2 ^{n} sin ( θ / 2 ^{n} )} .

よって

b_{n} = r \frac{sin θ}{2 ^{n} sin ( θ / 2 ^{n} )} = r \frac{sin θ}{θ} \cdot \frac{θ / 2 ^{n}}{sin ( θ / 2 ^{n} )} .

ここで $lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1$ より $lim_{n \to \infty} \frac{θ / 2 ^{n}}{s i n ( θ / 2 ^{n} )} = 1.$ したがって $lim_{n \to \infty} b_{n} = \frac{r sin θ}{θ} .$ さらに $a_{n} = b_{n} cos \frac{θ}{2 ^{n}}, cos \frac{θ}{2 ^{n}} \to 1$ なので

n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim b_{n} = \frac{r sin θ}{θ}

である。

北海道大学 2010年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

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理系数学前期第3問