問題
実数を成分とする行列がを満たすとき，以下の問いに答えよ．ただし，は単位行列，は零行列である．
(1) は逆行列をもつことを示せ．
(2) とを求めよ．
(3) ，のとき，を求めよ．
出典：北海道大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
まず行列方程式を と変形し，逆行列の存在と形を押さえる。次に成分計算または2次行列の恒等式から，トレース と行列式 を決める。最後は指定された逆行列の形と を比較し， で符号を確定する。
解答
(1) 与えられた条件は である。これを と書き直し，左辺を でくくると である。したがって も成り立つ。2次正方行列において右逆行列をもてば逆行列が存在し，その右逆行列が逆行列になるので， である。よって は逆行列をもつ。
(2) とおく。2次行列の逆行列の公式より
である。一方，(1)より
である。
また から，両辺の行列式を直接比較するより，まず を成分で見てもよい。 の成分を計算すると
したがって非対角成分から を得る。
もし なら は対角行列であり，， が必要になるが，これらは実数解をもたない。よって の少なくとも一方は0でなく， である。
行列式については， の固有多項式に対応する2次行列の恒等式 と，与えられた を比べると，すでに であるから である。あるいは の逆行列公式と比較しても同じ結論を得る。
(3) 条件
と，(1)の
を比較する。すると である。よって である。
さらに (2) の を用いると すなわち である。 だから したがって
である。