問題
座標平面上の点を点に移す点の移動が行列を用いて
で表されるとき，を1次変換という．このときを1次変換を表す行列という．
を実数とし，座標平面上に3点，，をとる．
(1) をに移し，をに移す1次変換を表す行列を求めよ．
(2) さらに，がを自身に移すとする．このときのとを求めよ．
(3) 上で求めたのうちであるものについて，集合が集合と等しくなるような1次変換の個数を求めよ．ただし，，，をで移した点をそれぞれ，，とする．
方針
が一次独立であることを使い，それらの像を列ベクトルで並べて行列を求める。固定点条件は として固有値1の直線を出し，放物線上の点 との交点を求める。最後は のとき になることを使い，3点の順列がすべて線形変換として実現することを確認する。
解答
(1) 線形変換 の表す行列を
とする。 は点 を に，点 を に移すので，
である。
列ベクトルを並べて書くと
よって
ここで
である。したがって
よって
である。
(2) が によって動かないとは， が固有値1の方向上にあるということである。 とおき，
を解く。すなわち
より どちらからも を得る。
したがって が固定されるには であればよい。両辺に3を掛けて すなわち よって であり， である。対応する点は したがって である。
(3) の場合，(2) より である。このとき である。すなわち である。また は一次独立であるから， の行き先が決まれば線形変換は一意に定まる。
集合 を自分自身に移す線形変換を考える。 の像はこの3点の順列にならなければならない。任意の順列を選んだとき，たとえば と定めると，線形性により である。ところが なので， が の順列なら が残りの1点になる。したがって，どの順列も実際に条件を満たす線形変換を与える。
3点の順列は 通りである。よって求める線形変換の個数は である。