北海道大学 2010年度
後期・理系数学 後期 第2問

解答

(1) $x=0$ では両辺とも0である。$x\ne 0$ とし，$u=x^2>0$ とおくと，条件 $c{x}^2\ge \log (1+x^2)$ は $c\ge \frac{\log (1+u)}{u}(u>0)$ と同値である。したがって $\frac{\log (1+u)}{u}$ の上限を調べればよい。

関数 $h(u)=\frac{\log (1+u)}{u}$ を考えると，$h^{\prime }(u)=\frac{\frac{u}{1+u}-\log (1+u)}{u^2}.$ ここで $\psi (u)=\log (1+u)-\frac{u}{1+u}$ とおくと

よって $u>0$ で $\psi (u)\ge 0$，すなわち $\log (1+u)\ge \frac{u}{1+u}$ である。したがって $h^{\prime }(u)\le 0$ となり，$h(u)$ は減少する。

また ${\lim }_{u\to 0+}\frac{\log (1+u)}{u}=1$ であるから，$h(u)$ の上限は1である。よって条件をすべての実数 $x$ で満たすための $c$ の範囲は $\boxed{c\ge 1}$ である。

別解。$u>0$ に対して $\log (1+u)={\int }_0^u\frac{1}{1+s}ds\le {\int }_0^{u}1ds=u$ であるから，$\log (1+u)/u\le 1$ がすぐに分かる。また $u\to 0+$ でこの比は1に近づくので，やはり必要十分条件は $c\ge 1$ である。

(2) $c\ge 1$ のとき，$-1\le x\le 1$ では $c{x}^2\ge \log (1+x^2)$ であるから，2曲線と直線 $x=\pm 1$ で囲まれる面積 $S$ は $S={\int }_{-1}^1\{c{x}^2-\log (1+x^2)\}dx$ である。被積分関数は偶関数なので $S=2{\int }_0^1\{c{x}^2-\log (1+x^2)\}dx.$ まず ${\int }_0^{1}c{x}^{2}dx=\frac{c}{3}$ である。

次に ${\int }_0^1\log (1+x^2)dx$ を部分積分で計算する。$u=\log (1+x^2)$，$dv=dx$ とすると

したがって

よって

したがって面積は

これが4に等しいから $\frac{2c}{3}-2\log 2+4-\pi =4.$ よって $\frac{2c}{3}=\pi +2\log 2$ であり，$\boxed{c=\frac{3\pi }{2}+3\log 2}$ である。これは $c\ge 1$ を満たしている。