北海道大学 2010年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

1辺の長さが $a$ の正三角形 $D_{0}$ から出発して，多角形 $D_{1}$ ， $D_{2}$ ， $\dots$ ， $D_{n}$ ， $\dots$ を次のように定める．

(i) $A B$ を $D_{n - 1}$ の1辺とする．辺 $A B$ を3等分し，その分点を $A$ に近い方から $P$ ， $Q$ とする．

(ii) $P Q$ を1辺とする正三角形 $P QR$ を $D_{n - 1}$ の外側に作る．

(iii) 辺 $A B$ を折線 $A P R QB$ で置き換える．

$D_{n - 1}$ のすべての辺に対して(i)～(iii)の操作を行って得られる多角形を $D_{n}$ とする．
以下の問いに答えよ．

(1) $D_{n}$ の周の長さ $L_{n}$ を $a$ と $n$ で表せ．

(2) $D_{n}$ の面積 $S_{n}$ を $a$ と $n$ で表せ．

(3) $n \to \infty lim S_{n}$ を求めよ．

出典：北海道大学 2010年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

各操作で「1本の辺が4本になり，各長さが3分の1になる」ことを周長に反映する。面積は初期面積に，各段階で外側に付け加える正三角形の面積を足していく。増加分が公比 $4/9$ の等比数列になることを使う。

解答

最初の正三角形の1辺の長さは $a$ である。

(1) 各段階で，すべての辺は3等分され，中央の1つが正三角形の2辺に置き換えられる。つまり，1本の線分は長さが $1/3$ の4本の線分に置き換わる。

したがって，第 $n$ 回操作後の1本の辺の長さは $\frac{a}{3 ^{n}}$ であり，辺の本数は $3 \cdot 4^{n}$ である。よって周の長さ $L_{n}$ は $L_{n} = 3 \cdot 4^{n} \cdot \frac{a}{3 ^{n}} = 3 a (\frac{4}{3})^{n}$ である。

(2) 面積を考える。初めの正三角形の面積は $S_{0} = \frac{3}{4} a^{2}$ である。

第1回操作で付け加わる正三角形は3個で，それぞれの1辺は $a /3$ だから，増加面積は

3 \cdot \frac{3}{4} (\frac{a}{3})^{2} = \frac{3 a ^{2}}{12}

である。

一般に，第 $k$ 回操作で付け加わる正三角形の個数は $3 \cdot 4^{k - 1}$ であり，その1辺の長さは $\frac{a}{3 ^{k}}$ である。したがって第 $k$ 回の増加面積は

3 \cdot 4^{k - 1} \cdot \frac{3}{4} (\frac{a}{3 ^{k}})^{2} = \frac{3 a ^{2}}{12} (\frac{4}{9})^{k - 1}

である。

よって第 $n$ 回操作後の面積 $S_{n}$ は

S_{n} = \frac{3}{4} a^{2} + k = 1 \sum n \frac{3 a ^{2}}{12} (\frac{4}{9})^{k - 1} .

等比数列の和を用いると

S_{n} = \frac{3}{4} a^{2} + \frac{3 a ^{2}}{12} \cdot \frac{1 - ( 4/9 ) ^{n}}{1 - 4/9} .

ここで $\frac{1}{1 - 4/9} = \frac{9}{5}$ であるから

S_{n} = \frac{3}{4} a^{2} + \frac{3 3}{20} a^{2} {1 - (\frac{4}{9})^{n}} .

整理して $S_{n} = \frac{3 a ^{2}}{20} {8 - 3 (\frac{4}{9})^{n}} .$ したがって

S_{n} = \frac{3 a ^{2}}{20} {8 - 3 (\frac{4}{9})^{n}}

である。

また $(\frac{4}{9})^{n} \to 0 (n \to \infty)$ なので，極限の面積は $n \to \infty lim S_{n} = \frac{2 3}{5} a^{2}$ である。

北海道大学 2010年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

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後期・理系数学後期第3問