北海道大学 2009年度
理系数学 前期 第5問

解答

(1)

${\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1$ であるから

である。よって $\boxed{a_1=1-\frac{\pi }{4}}$ である。

(2)

${\tan }^{2n+2}x={\tan }^{2n}x\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)$ である。したがって

である。ここで$u=\tan x$とおくと，$du=dx/{\cos }^{2}x$であり，$x=0$で$u=0$，$x=\pi /4$で$u=1$である。よって

である。したがって $\boxed{a_{n+1}=\frac{1}{2n+1}-a_n}$ である。

(3)

再び$u=\tan x$とおくと $a_n={\int }_0^1\frac{u^{2n}}{1+u^2}du$ である。$0\leqq u\leqq 1$で $0\leqq \frac{u^{2n}}{1+u^2}\leqq u^{2n}$ だから $0\leqq a_n\leqq {\int }_0^1{u}^{2n}du=\frac{1}{2n+1}$ である。よって，はさみうちにより $\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0}$ である。

(4)

(2)の式を$n=k-1$として用いると，$k\geqq 2$について $\frac{1}{2k-1}=a_{k-1}+a_k$ である。いま $S_n={\sum }_{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k+1}}{2k-1}$ とおく。上の関係を使うと

である。実際，途中の$a_2,a_3,\dots ,a_{n-1}$の項は隣り合う項で打ち消し合う。

(3)より$a_n\to 0$であり，(1)より$a_1=1-\pi /4$である。したがって

である。