北海道大学 2009年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

直角三角形 $△ A B C$ において $∠ B$ は直角であるとし，辺 $A C$ の長さを $α$ とする．辺 $A C$ を $n$ 等分し，その分点を $A$ に近い方から順に $D_{1}, D_{2}, D_{3}, \dots, D_{n - 1}$ とおく． $1 ≦ k ≦ n - 1$ に対し，線分 $B D_{k}$ の長さを $L_{k}$ とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) $S_{n} = k = 1 \sum n - 1 (L_{k})^{2}$ を $α$ と $n$ で表せ．

(2) $n \to \infty lim \frac{S _{n}}{n}$ を $α$ で表せ．

出典：北海道大学 2009年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

直角の頂点 $B$ を原点に置き， $B A$ と $B C$ を座標軸に沿わせる。 $D_{k}$ は辺 $A C$ を $A$ から $k / n$ だけ進んだ点なので，座標を一次結合で表せる。 $B D_{k}^{2}$ を計算すると， $A B$ と $B C$ の長さは別々に出るが，和を取ると同じ平方和が現れ，最後は $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2} = α^{2}$ にまとまる。

解答

$B$ を原点に置き， $A = (u, 0)$ ， $C = (0, v)$ とする。 $∠ B = 9 0^{\circ}$ であり， $A C = α$ なので $u^{2} + v^{2} = α^{2}$ である。

$D_{k}$ は $A C$ を $n$ 等分した分点のうち， $A$ に近い方から $k$ 番目の点である。したがって

D_{k} = (1 - \frac{k}{n}) A + \frac{k}{n} C = (u (1 - \frac{k}{n}), v \frac{k}{n})

である。よって

L_{k}^{2} = B D_{k}^{2} = u^{2} (1 - \frac{k}{n})^{2} + v^{2} (\frac{k}{n})^{2}

である。

(1)

$k = 1, 2, \dots, n - 1$ について和をとる。まず

k = 1 \sum n - 1 (1 - \frac{k}{n})^{2} = k = 1 \sum n - 1 (\frac{n - k}{n})^{2} = \frac{1}{n ^{2}} j = 1 \sum n - 1 j^{2}

である。同様に

k = 1 \sum n - 1 (\frac{k}{n})^{2} = \frac{1}{n ^{2}} k = 1 \sum n - 1 k^{2}

である。したがって

S_{n} = k = 1 \sum n - 1 L_{k}^{2} = (u^{2} + v^{2}) \frac{1}{n ^{2}} k = 1 \sum n - 1 k^{2} = α^{2} \cdot \frac{1}{n ^{2}} \cdot \frac{( n - 1 ) n ( 2 n - 1 )}{6} = \frac{α ^{2} ( n - 1 ) ( 2 n - 1 )}{6 n}

である。

(2)

(1)より $\frac{S _{n}}{n} = \frac{α ^{2} ( n - 1 ) ( 2 n - 1 )}{6 n ^{2}}$ である。したがって

n \to \infty lim \frac{S _{n}}{n} = \frac{α ^{2}}{6} n \to \infty lim \frac{( n - 1 ) ( 2 n - 1 )}{n ^{2}} = \frac{α ^{2}}{6} \cdot 2 = \frac{α ^{2}}{3}

である。

北海道大学 2009年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2009年度
理系数学前期第2問