北海道大学 2009年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

$0 < a < 1$ ， $0 < θ < π$ とする．4点 $O (0, 0)$ ， $A (a, 0)$ ， $P (cos θ, sin θ)$ ， $Q (x, y)$ が条件 $O Q = A Q = P Q$ をみたすとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) 点 $Q$ の座標を $a$ と $θ$ で表せ．

(2) $a$ を固定する． $0 < θ < π$ の範囲で $θ$ が動くとき， $y$ の最小値を求めよ．

出典：北海道大学 2009年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

$O Q = A Q = P Q$ より， $Q$ は三角形 $O A P$ の外心である。まず $O Q = A Q$ から $Q$ が $O A$ の垂直二等分線上にあるので $x = a /2$ が決まる。次に $O Q = P Q$ を式にして $y$ を $a, θ$ で表す。最小値は $0 < θ < π$ で $sin θ > 0$ を使い， $y = (1 - a cos θ) / (2 sin θ)$ を微分して調べる。

解答

(1)

$O Q = A Q$ より，点 $Q$ は線分 $O A$ の垂直二等分線上にある。 $O = (0, 0)$ ， $A = (a, 0)$ だから $x = \frac{a}{2}$ である。

また， $O Q = P Q$ より $x^{2} + y^{2} = (x - cos θ)^{2} + (y - sin θ)^{2}$ である。展開して整理すると $2 x cos θ + 2 y sin θ = 1$ すなわち $x cos θ + y sin θ = \frac{1}{2}$ である。ここに $x = a /2$ を代入して $\frac{a}{2} cos θ + y sin θ = \frac{1}{2}$ となる。 $0 < θ < π$ より $sin θ > 0$ なので， $y = \frac{1 - a c o s θ}{2 s i n θ}$ である。したがって $Q (\frac{a}{2}, \frac{1 - a cos θ}{2 sin θ})$ である。

(2)

$a$ を固定し， $y (θ) = \frac{1 - a c o s θ}{2 s i n θ}$ とおく。 $0 < θ < π$ では $sin θ > 0$ である。微分すると

y^{'} (θ) = \frac{2 a sin ^{2} θ - 2 ( 1 - a cos θ ) cos θ}{4 sin ^{2} θ} = \frac{a ( sin ^{2} θ + cos ^{2} θ ) - cos θ}{2 sin ^{2} θ} = \frac{a - cos θ}{2 sin ^{2} θ}

である。

分母は正なので， $y^{'} (θ)$ の符号は $a - cos θ$ の符号で決まる。 $0 < a < 1$ だから， $cos θ = a$ を満たす $θ$ が $0 < θ < π$ にただ一つ存在する。この値より前では $cos θ > a$ なので $y^{'} < 0$ ，後では $cos θ < a$ なので $y^{'} > 0$ である。したがって，この点で $y$ は最小になる。

$cos θ = a$ のとき， $0 < θ < π$ より $sin θ = 1 - a^{2}$ である。よって最小値は $y_{m i n} = \frac{1 - a ^{2}}{2 1 - a ^{2}} = \frac{1 - a ^{2}}{2}$ である。

北海道大学 2009年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2009年度
理系数学前期第4問