北海道大学 2009年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

$t > 0$ とし， $x = t$ で表される直線を $l_{1}$ とする． $y = \frac{x ^{2}}{4}$ で表される放物線を $C$ とおく． $C$ と $l_{1}$ の共有点 $(t, \frac{t ^{2}}{4})$ における $C$ の接線を $l_{2}$ とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) $l_{1}$ と $l_{2}$ のなす角を $θ$ とするとき， $cos θ$ を求めよ．ただし， $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ とする．

(2) $l_{1}$ を $l_{2}$ に関して対象移動させた直線を $l_{3}$ とおくとき， $l_{3}$ の方程式を求めよ．

(3) $l_{3}$ は $t$ によらない定点を通ることを示せ．

(4) $l_{3}$ と $C$ の2つの共有点を $P$ ， $Q$ とする．線分 $P Q$ の長さが最小になるような $t$ の値を求めよ．

出典：北海道大学 2009年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

接線 $l_{2}$ の方向ベクトルを $(2, t)$ とし，縦線 $l_{1}$ の方向ベクトル $(0, 1)$ を $l_{2}$ に関して反射する。(1)では縦線との角なので内積から $cos θ = t / t^{2} + 4$ となる点に注意する。反射後の方向ベクトルから $l_{3}$ を求めると切片が常に1になり，定点が分かる。最後は放物線との交点の $x$ 座標差と直線の傾きを用いて弦長を $t$ の式にし， $t + 4/ t$ の最小化に帰着する。

解答

放物線 $C : y = x^{2} /4$ の導関数は $y^{'} = \frac{x}{2}$ である。したがって， $x = t$ における接線 $l_{2}$ は $y - \frac{t ^{2}}{4} = \frac{t}{2} (x - t)$ すなわち $l_{2} : y = \frac{t}{2} x - \frac{t ^{2}}{4}$ である。

(1)

$l_{2}$ の方向ベクトルとして $(2, t)$ をとることができる。また， $l_{1}$ は縦線なので方向ベクトルは $(0, 1)$ である。 $0 ≦ θ ≦ π /2$ より

cos θ = \frac{( 2 , t ) \cdot ( 0 , 1 )}{2 ^{2} + t ^{2} \cdot 1} = \frac{t}{t ^{2} + 4}

である。

(2)

$l_{2}$ の方向ベクトルを $u = (2, t)$ ， $l_{1}$ の方向ベクトルを $v = (0, 1)$ とする。 $v$ を $u$ の方向に関して対称移動したベクトルは

2 \frac{v \cdot u}{u \cdot u} u - v

である。ここで $v \cdot u = t, u \cdot u = t^{2} + 4$ だから，反射後の方向ベクトルは

2 \frac{t}{t ^{2} + 4} (2, t) - (0, 1) = (\frac{4 t}{t ^{2} + 4}, \frac{t ^{2} - 4}{t ^{2} + 4})

である。したがって $l_{3}$ の傾きは $\frac{( t ^{2} - 4 ) / ( t ^{2} + 4 )}{4 t / ( t ^{2} + 4 )} = \frac{t ^{2} - 4}{4 t}$ である。

$l_{1}$ と $l_{2}$ の交点 $(t, \frac{t ^{2}}{4})$ は， $l_{2}$ 上の点なので対称移動しても動かない。よって $l_{3}$ はこの点を通り， $y - \frac{t ^{2}}{4} = \frac{t ^{2} - 4}{4 t} (x - t)$ である。整理して $l_{3} : y = \frac{t ^{2} - 4}{4 t} x + 1$ を得る。

別解。 $l_{2}$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $φ$ とすると， $tan φ = t /2$ である。縦線の方向角 $π /2$ を直線 $l_{2}$ に関して反射すると，反射後の方向角は $2 φ - π /2$ である。したがって $l_{3}$ の傾きは

tan (2 φ - \frac{π}{2}) = - \frac{1}{tan 2 φ} = - \frac{1 - ( t /2 ) ^{2}}{2 ( t /2 )} = \frac{t ^{2} - 4}{4 t}

となり，同じ方程式が得られる。

(3)

(2)で得た式 $l_{3} : y = \frac{t ^{2} - 4}{4 t} x + 1$ に $x = 0$ を代入すると，常に $y = 1$ である。したがって $l_{3}$ は $t$ によらず定点 $(0, 1)$ を通る。

(4)

$l_{3}$ と $C$ の交点の $x$ 座標は $\frac{x ^{2}}{4} = \frac{t ^{2} - 4}{4 t} x + 1$ を満たす。両辺を4倍して $x^{2} - (t - \frac{4}{t}) x - 4 = 0$ である。この2つの根を $x_{1}, x_{2}$ とすると，根の差は

∣ x_{1} - x_{2} ∣ = (t - \frac{4}{t})^{2} + 16 = (t + \frac{4}{t})^{2} = t + \frac{4}{t}

である。

$l_{3}$ の傾きを $m$ とすると，交点間の距離は $P Q = ∣ x_{1} - x_{2} ∣ 1 + m^{2}$ である。ここで $m = \frac{t ^{2} - 4}{4 t}$ だから $1 + m^{2} = 1 + \frac{( t ^{2} - 4 ) ^{2}}{16 t ^{2}} = \frac{t ^{2} + 4}{4 t}$ である。よって

P Q = (t + \frac{4}{t}) \frac{t ^{2} + 4}{4 t} = \frac{( t ^{2} + 4 ) ^{2}}{4 t ^{2}} = \frac{1}{4} (t + \frac{4}{t})^{2}

である。

$t > 0$ において $t + \frac{4}{t} ≧ 2 t \cdot \frac{4}{t} = 4$ であり，等号は $t = 2$ のとき成り立つ。したがって $P Q$ が最小になるのは $t = 2$ のときである。

北海道大学 2009年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

北海道大学 2009年度
理系数学前期第3問