北海道大学 2009年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

関数 $f (t)$ を

f (t) = \int_{0}^{1} (∣ e^{x} - t ∣ + ∣ e^{2 x} - t ∣) d x

と定める． $1 ≦ t ≦ e$ での $f (t)$ の最小値とそのときの $t$ の値を求めよ．

出典：北海道大学 2009年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

$1 ≦ t ≦ e$ では， $e^{x} = t$ の折れ点 $x = lo g t$ も， $e^{2 x} = t$ の折れ点 $x = (1/2) lo g t$ も積分区間内にある。絶対値付き積分の $t$ 微分は， $t$ より下にある区間の長さから上にある区間の長さを引けば求められるので， $f^{'} (t) = 3 lo g t - 2$ を得る。最小点 $t = e^{2/3}$ を決めた後，絶対値を折れ点で分けた一般式に代入して最小値を計算する。

解答

$1 ≦ t ≦ e$ とする。このとき $e^{x} = t$ となる点は $x = lo g t$ であり， $0 ≦ lo g t ≦ 1$ だから積分区間 $[0, 1]$ 内にある。また $e^{2 x} = t$ となる点は $x = \frac{1}{2} lo g t$ であり，これも $[0, 1]$ 内にある。

まず $f^{'} (t)$ を求める。 $∣ e^{x} - t ∣$ については， $0 ≦ x < lo g t$ で $e^{x} - t < 0$ ， $lo g t < x ≦ 1$ で $e^{x} - t > 0$ である。したがって $t$ で微分した寄与は $(lo g t) - (1 - lo g t) = 2 lo g t - 1$ である。同様に， $∣ e^{2 x} - t ∣$ については折れ点が $x = (1/2) lo g t$ なので，寄与は $\frac{1}{2} lo g t - (1 - \frac{1}{2} lo g t) = lo g t - 1$ である。よって $f^{'} (t) = 3 lo g t - 2$ である。

$1 ≦ t ≦ e$ で $lo g t$ は増加するから， $f^{'} (t)$ は $t = e^{2/3}$ で負から正に変わる。したがって $f (t)$ は $t = e^{2/3}$ で最小となる。

次に最小値を求める。一般に $a = 1, 2$ に対して $G_{a} (t) = \int_{0}^{1} ∣ e^{a x} - t ∣ d x$ とおく。折れ点 $x = (1/ a) lo g t$ で分けると

G_{a} (t) = \int_{0}^{(l o g t) / a} (t - e^{a x}) d x + \int_{(l o g t) / a}^{1} (e^{a x} - t) d x = t \frac{lo g t}{a} - \frac{t - 1}{a} + \frac{e ^{a} - t}{a} - t (1 - \frac{lo g t}{a}) = t (\frac{2 lo g t}{a} - 1) + \frac{e ^{a} + 1 - 2 t}{a}

である。

$t = e^{2/3}$ を代入する。まず $a = 1$ について

G_{1} (e^{2/3}) = e^{2/3} (\frac{4}{3} - 1) + e + 1 - 2 e^{2/3} = e + 1 - \frac{5}{3} e^{2/3}

である。次に $a = 2$ について

G_{2} (e^{2/3}) = e^{2/3} (\frac{2}{3} - 1) + \frac{e ^{2} + 1 - 2 e ^{2/3}}{2} = \frac{e ^{2} + 1}{2} - \frac{4}{3} e^{2/3}

である。したがって

f (e^{2/3}) = G_{1} (e^{2/3}) + G_{2} (e^{2/3}) = e + 1 + \frac{e ^{2} + 1}{2} - 3 e^{2/3} = \frac{e ^{2} + 2 e + 3}{2} - 3 e^{2/3}

である。

北海道大学 2009年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

北海道大学 2009年度
後期・理系数学後期第4問