北海道大学 2009年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$α$ ， $β$ ， $γ$ を $α + β + γ = 0$ をみたす複素数とする． $z = α^{2} + β^{2} + γ^{2}$ とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) $α β + β γ + γ α$ を $z$ で表せ．

(2) $α^{4} + β^{4} + γ^{4}$ を $z$ で表せ．

出典：北海道大学 2009年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

条件 $α + β + γ = 0$ を2乗して，まず $α β + β γ + γ α$ を $z$ で表す。4乗和は $z^{2} = (α^{2} + β^{2} + γ^{2})^{2}$ を展開して出すが，途中に現れる $α^{2} β^{2} + β^{2} γ^{2} + γ^{2} α^{2}$ は $(α β + β γ + γ α)^{2}$ で表せる。ここで $α + β + γ = 0$ により余分な3次の項が消えることを確認する。

解答

(1)

$α + β + γ = 0$ を2乗すると $(α + β + γ)^{2} = 0$ である。左辺を展開して $α^{2} + β^{2} + γ^{2} + 2 (α β + β γ + γ α) = 0$ となる。ここで $z = α^{2} + β^{2} + γ^{2}$ だから $z + 2 (α β + β γ + γ α) = 0$ である。よって $α β + β γ + γ α = - \frac{z}{2}$ である。

(2)

まず $z^{2} = (α^{2} + β^{2} + γ^{2})^{2}$ であるから，展開して

z^{2} = α^{4} + β^{4} + γ^{4} + 2 (α^{2} β^{2} + β^{2} γ^{2} + γ^{2} α^{2})

である。

次に $(α β + β γ + γ α)^{2}$ を展開すると

α^{2} β^{2} + β^{2} γ^{2} + γ^{2} α^{2} + 2 α β γ (α + β + γ)

である。ところが $α + β + γ = 0$ なので，最後の項は0である。したがって

α^{2} β^{2} + β^{2} γ^{2} + γ^{2} α^{2} = (α β + β γ + γ α)^{2} = (- \frac{z}{2})^{2} = \frac{z ^{2}}{4}

である。

これを $z^{2}$ の式に代入すると

z^{2} = α^{4} + β^{4} + γ^{4} + 2 \cdot \frac{z ^{2}}{4} = α^{4} + β^{4} + γ^{4} + \frac{z ^{2}}{2}

である。よって $α^{4} + β^{4} + γ^{4} = \frac{z ^{2}}{2}$ である。

北海道大学 2009年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2009年度
後期・理系数学後期第1問