北海道大学 2009年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$a_{1} > 1$ とする．数列 ${a_{n}}$ を漸化式

a_{n + 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 a _{n}} (n ≧ 1)

によって定める． $k$ を自然数として，以下の問いに答えよ．

(1) $a_{2 k + 1}$ を $a_{2 k - 1}$ で表せ．

(2) $1 < a_{2 k + 1} < a_{2 k - 1}$ を示せ．

(3) $n \to \infty lim a_{n} = 1$ を示せ．

出典：北海道大学 2009年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

漸化式を $f (x) = (x + 1) / (2 x)$ と見て，2回分を合成する。奇数番目だけを取り出すと $a_{2 k + 1} = g (a_{2 k - 1})$ となり， $x > 1$ に対して $1 < g (x) < x$ を示せば，奇数部分列が1より大きく単調減少することが分かる。極限は $L = g (L)$ から決め，偶数部分列は $a_{2 k} = f (a_{2 k - 1})$ により同じ極限へ送る。

解答

(1)

$f (x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x} = \frac{x + 1}{2 x}$ とおくと，漸化式は $a_{n + 1} = f (a_{n})$ と書ける。したがって $a_{2 k + 1} = f (f (a_{2 k - 1}))$ である。ここで

f (f (x)) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot \frac{x + 1}{2 x}} = \frac{1}{2} + \frac{x}{x + 1} = \frac{3 x + 1}{2 ( x + 1 )}

である。よって $a_{2 k + 1} = \frac{3 a _{2 k - 1} + 1}{2 ( a _{2 k - 1} + 1 )}$ である。

(2)

$g (x) = \frac{3 x + 1}{2 ( x + 1 )}$ とおく。 $x > 1$ のとき， $g (x) > 1$ は $3 x + 1 > 2 x + 2$ すなわち $x > 1$ と同値である。したがって $x > 1$ なら $g (x) > 1$ である。

また $g (x) < x$ は $3 x + 1 < 2 x (x + 1) = 2 x^{2} + 2 x$ すなわち $0 < 2 x^{2} - x - 1 = (2 x + 1) (x - 1)$ と同値である。 $x > 1$ ならこれは成り立つ。よって $x > 1$ なら $1 < g (x) < x$ である。

$a_{1} > 1$ であり，(1)より $a_{2 k + 1} = g (a_{2 k - 1})$ だから，数学的帰納法によりすべての $k$ で $1 < a_{2 k + 1} < a_{2 k - 1}$ が成り立つ。

(3)

(2)より，奇数番目の部分列 $a_{1}, a_{3}, a_{5}, \dots$ は1より大きく，単調減少する。したがって極限をもつ。その極限を $L$ とすると， $L ≧ 1$ であり，(1)の式から $L = \frac{3 L + 1}{2 ( L + 1 )}$ を満たす。整理すると $2 L^{2} + 2 L = 3 L + 1$ すなわち $2 L^{2} - L - 1 = 0$ である。因数分解して $(2 L + 1) (L - 1) = 0$ であり， $L ≧ 1$ だから $L = 1$ である。よって $lim_{k \to \infty} a_{2 k - 1} = 1$ である。

偶数番目については $a_{2 k} = f (a_{2 k - 1}) = \frac{a _{2 k - 1} + 1}{2 a _{2 k - 1}}$ であるから， $a_{2 k - 1} \to 1$ より $lim_{k \to \infty} a_{2 k} = \frac{1 + 1}{2} = 1$ である。奇数番目と偶数番目の部分列がともに1に収束するので，数列全体について $n \to \infty lim a_{n} = 1$ である。

北海道大学 2009年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2009年度
後期・理系数学後期第2問