北海道大学 2009年度
後期・理系数学 後期 第3問

解答

(1)

直線$l$の傾きを$m$とする。傾きは正なので$m>0$である。$l$は$C(-c,0)$を通るから $l:y=m(x+c)$ と書ける。すなわち $mx-y+mc=0$ である。

この直線が原点中心，半径1の円$S$に接するためには，原点から直線$l$までの距離が1であればよい。したがって $\frac{mc}{\sqrt{m^2+1}}=1$ である。両辺を2乗して $m^2{c}^2=m^2+1$ より $m^2(c^2-1)=1$ である。$m>0$だから $m=\frac{1}{\sqrt{c^2-1}}$ である。よって $\boxed{l:y=\frac{x+c}{\sqrt{c^2-1}}}$ である。

接点$A$は原点から$l$へ下ろした垂線の足である。$s=\sqrt{c^2-1}$とおくと，$m=1/s$である。直線 $mx-y+mc=0$ への原点からの垂線の足は $\left(-\frac{m^{2}c}{m^2+1},\frac{mc}{m^2+1}\right)$ である。ここで$m^2+1=c^2/s^2$なので $A=\left(-\frac{1}{c},\frac{s}{c}\right)$ となる。したがって $\boxed{A\left(-\frac{1}{c},\frac{\sqrt{c^2-1}}{c}\right)}$ である。

(2)

以後も$s=\sqrt{c^2-1}$とおく。点$P$は$l$上で$x=p$の点だから $P\left(p,\frac{p+c}{s}\right)$ である。これを$x$軸に関して対称移動した点は $Q\left(p,-\frac{p+c}{s}\right)$ である。

$l$の傾きは$1/s$なので，$l$と直交する直線の傾きは$-s$である。$Q$を通り傾き$-s$の直線は $y+\frac{p+c}{s}=-s(x-p)$ である。整理すると $sx+y+\frac{p+c}{s}-sp=0$ である。

この直線が円$S$に接するためには，原点からこの直線までの距離が1であればよい。よって $\frac{|\frac{p+c}{s}-sp|}{\sqrt{s^2+1}}=1$ である。$s^2+1=c^2$なので $\left|\frac{p+c}{s}-sp\right|=c$ である。両辺に$s$を掛けると $|p+c-s^{2}p|=cs$ である。$s^2=c^2-1$より $|c-(c^2-2)p|=cs$ となる。

ここで$c>\sqrt{2}$だから$c^2-2>0$である。絶対値を外すと $c-(c^2-2)p=cs$ または $c-(c^2-2)p=-cs$ である。前者からは $p=\frac{c(1-s)}{c^2-2}<0$ となり，$p>1$に反する。したがって後者を採用して $p=\frac{c(1+s)}{c^2-2}$ である。すなわち $\boxed{p=\frac{c(1+\sqrt{c^2-1})}{c^2-2}}$ である。なお，$c^2-2=s^2-1=(s-1)(s+1)$なので，これは$p=c/(s-1)>1$を満たす。