北海道大学 2008年度
理系数学 前期 第5問

解答

(1)

$I={\int }_0^1{e}^{t}f(t)dt$ とおく。与えられた式は $f(x)={\int }_0^1{e}^{x+t}f(t)dt=e^x{\int }_0^1{e}^{t}f(t)dt$ であるから $f(x)=e^{x}I$ である。

この式を $I$ の定義に代入すると $I={\int }_0^1{e}^t{e}^{t}Idt=I{\int }_0^1{e}^{2t}dt$ である。ここで ${\int }_0^1{e}^{2t}dt={\left[\frac{1}{2}{e}^{2t}\right]}_0^1=\frac{e^2-1}{2}$ だから $I=I\frac{e^2-1}{2}$ である。すなわち $I\left(1-\frac{e^2-1}{2}\right)=0$ である。$e>2$ より $(e^2-1)/2>1$ なので，括弧内は0ではない。したがって $I=0$ であり，$f(x)=e^{x}I=0$ である。よって条件を満たす $f(x)$ は定数関数 $f(x)=0$ のみである。

(2)

$K={\int }_0^1{e}^{t}g(t)dt$ とおく。与えられた式から $g(x)={\int }_0^1{e}^{x+t}g(t)dt+x=e^{x}K+x$ である。

この式を $K$ の定義に代入すると $K={\int }_0^1{e}^t(e^{t}K+t)dt=K{\int }_0^1{e}^{2t}dt+{\int }_0^{1}t{e}^{t}dt$ である。すでに ${\int }_0^1{e}^{2t}dt=\frac{e^2-1}{2}$ である。また部分積分により ${\int }_0^{1}t{e}^{t}dt={\left[t{e}^t\right]}_0^1-{\int }_0^1{e}^{t}dt=e-(e-1)=1$ である。

したがって $K=K\frac{e^2-1}{2}+1$ となる。これを解くと $K\left(1-\frac{e^2-1}{2}\right)=1$ すなわち $K\frac{3-e^2}{2}=1$ であるから $K=\frac{2}{3-e^2}$ である。よって $g(x)=x+\frac{2e^x}{3-e^2}$ を得る。

最後に確認すると，この $g$ に対して ${\int }_0^1{e}^{t}g(t)dt=K$ となるように $K$ を定めているので，${\int }_0^1{e}^{x+t}g(t)dt+x=e^{x}K+x=g(x)$ が成り立つ。したがって求める関数は $g(x)=x+\frac{2e^x}{3-e^2}$ である。