北海道大学 2008年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

$n$ を自然数とし，2次正方行列 $A = (2112)$ に対して， $A$ の $n$ 乗を $A^{n} = (a_{n} c_{n} b_{n} d_{n})$ と表す．

(1) $a_{n} = d_{n}$ と $b_{n} = c_{n}$ を示せ．

(2) $n$ が奇数ならば $a_{n}$ は偶数であること，および， $n$ が偶数ならば $a_{n}$ は奇数であることを示せ．

出典：北海道大学 2008年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

(1)は $A^{n}$ が対称で対角成分が等しい形を保つことを数学的帰納法で示す。(2)は $A^{n + 1} = A^{n} A$ から $a_{n + 1}, b_{n + 1}$ の漸化式を作り，2で割った余りが毎回入れ替わることを追う。別解として， $a_{n} + b_{n}$ と $a_{n} - b_{n}$ を考えると $a_{n} = (3^{n} + 1) /2$ まで出せるので，4で割った余りから偶奇を直接判定できる。

解答

(1)

$n = 1$ のとき

A = (2112)

であるから $a_{1} = d_{1} = 2, b_{1} = c_{1} = 1$ であり，主張は成り立つ。

ある自然数 $n$ で

A^{n} = (a_{n} b_{n} b_{n} a_{n})

と書けると仮定する。このとき

A^{n + 1} = A^{n} A = (a_{n} b_{n} b_{n} a_{n}) (2112) = (2 a_{n} + b_{n} a_{n} + 2 b_{n} a_{n} + 2 b_{n} 2 a_{n} + b_{n})

である。したがって $A^{n + 1}$ でも対角成分は等しく，また対角でない2成分も等しい。よって数学的帰納法により，すべての自然数 $n$ について $a_{n} = d_{n}, b_{n} = c_{n}$ である。

(2)

(1)の計算から $a_{n + 1} = 2 a_{n} + b_{n}, b_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n}$ である。これを2で割った余りで見ると $a_{n + 1} \equiv b_{n} (mod 2), b_{n + 1} \equiv a_{n} (mod 2)$ である。 $n = 1$ では $a_{1} = 2, b_{1} = 1$ なので， $a_{1}$ は偶数， $b_{1}$ は奇数である。上の合同式より， $n$ が1増えるたびに $a_{n}$ と $b_{n}$ の偶奇は入れ替わる。したがって $n が奇数ならば a_{n} は偶数, n が偶数ならば a_{n} は奇数$ である。

別解。(1)より

A^{n} = (a_{n} b_{n} b_{n} a_{n})

と書ける。ここで $p_{n} = a_{n} + b_{n}, q_{n} = a_{n} - b_{n}$ とおく。上で得た漸化式から $p_{n + 1} = a_{n + 1} + b_{n + 1} = 3 (a_{n} + b_{n}) = 3 p_{n}$ であり，また $q_{n + 1} = a_{n + 1} - b_{n + 1} = a_{n} - b_{n} = q_{n}$ である。初期値は $p_{1} = 3, q_{1} = 1$ だから $p_{n} = 3^{n}, q_{n} = 1$ である。よって $a_{n} = \frac{p _{n} + q _{n}}{2} = \frac{3 ^{n} + 1}{2}$ となる。 $n$ が奇数ならば $3^{n} \equiv 3 (mod 4)$ なので $3^{n} + 1$ は4の倍数であり， $a_{n}$ は偶数である。 $n$ が偶数ならば $3^{n} \equiv 1 (mod 4)$ なので $3^{n} + 1$ は4で割ると2余り， $a_{n}$ は奇数である。これで同じ結論が得られる。

北海道大学 2008年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2008年度
理系数学前期第2問