北海道大学 2008年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

関数 $f (x)$ を $f (x) = \frac{3 x ^{2}}{2 x ^{2} + 1}$ とする．

(1) $0 < x < 1$ ならば， $0 < f (x) < 1$ となることを示せ．

(2) $f (x) - x = 0$ となる $x$ をすべて求めよ．

(3) $0 < α < 1$ とし，数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = α$ ， $a_{n + 1} = f (a_{n})$ $(n = 1, 2, \dots)$ とする． $α$ の値に応じて， $n \to \infty lim a_{n}$ を求めよ．

出典：北海道大学 2008年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

まず $f$ が区間 $(0, 1)$ を自分自身に移すことを示し，数列が区間外に出ないようにする。次に固定点を $f (x) = x$ から求め， $f (x) - x$ の符号を $x = 1/2$ を境に調べる。 $0 < α < 1/2$ では単調減少かつ下に有界， $1/2 < α < 1$ では単調増加かつ上に有界となるので，収束後の極限を固定点の中から選ぶ。

解答

(1)

$0 < x < 1$ とする。分母 $2 x^{2} + 1$ は正であり，分子 $3 x^{2}$ も正であるから $f (x) > 0$ である。

また $f (x) < 1$ は $\frac{3 x ^{2}}{2 x ^{2} + 1} < 1$ と同値である。分母は正なので両辺に $2 x^{2} + 1$ を掛けて $3 x^{2} < 2 x^{2} + 1$ すなわち $x^{2} < 1$ を得る。これは $0 < x < 1$ で成り立つ。したがって $0 < f (x) < 1$ である。

(2)

$f (x) - x = 0$ は $\frac{3 x ^{2}}{2 x ^{2} + 1} - x = 0$ である。分母を払うと $3 x^{2} - x (2 x^{2} + 1) = 0$ すなわち $x (- 2 x^{2} + 3 x - 1) = 0$ である。よって $x (2 x^{2} - 3 x + 1) = 0$ となり，因数分解して $x (2 x - 1) (x - 1) = 0$ を得る。したがって解は $x = 0, x = \frac{1}{2}, x = 1$ である。

(3)

(1)より， $0 < a_{n} < 1$ ならば $0 < a_{n + 1} < 1$ である。初期値 $0 < α < 1$ から出発するので，すべての $n$ について $0 < a_{n} < 1$ である。

また $f (x) - x = \frac{3 x ^{2}}{2 x ^{2} + 1} - x = \frac{x ( 1 - x ) ( 2 x - 1 )}{2 x ^{2} + 1}$ である。 $0 < x < 1$ では分母と $x (1 - x)$ は正なので，符号は $2 x - 1$ で決まる。

まず $0 < α < 1/2$ とする。このとき $a_{1} < 1/2$ であり，もし $0 < a_{n} < 1/2$ ならば $f (a_{n}) - a_{n} < 0$ だから $0 < a_{n + 1} < a_{n} < \frac{1}{2}$ である。よって ${a_{n}}$ は単調減少で下に有界なので収束する。その極限を $L$ とすると， $f$ は連続であるから $L = f (L)$ である。さらに $0 ≦ L < 1/2$ だから，(2)の固定点のうち該当するものは $0$ だけである。したがって $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ である。

次に $α = 1/2$ のときは，(2)より $f (1/2) = 1/2$ であるから $a_{n} = \frac{1}{2} (n = 1, 2, 3, \dots)$ であり，極限は $\frac{1}{2}$ である。

最後に $1/2 < α < 1$ とする。このとき， $1/2 < a_{n} < 1$ ならば $f (a_{n}) - a_{n} > 0$ だから $\frac{1}{2} < a_{n} < a_{n + 1} < 1$ である。よって ${a_{n}}$ は単調増加で上に有界なので収束する。極限を $L$ とすると $L = f (L)$ であり，さらに $1/2 < L ≦ 1$ であるから，(2)の固定点のうち該当するものは $1$ だけである。したがって $lim_{n \to \infty} a_{n} = 1$ である。

以上をまとめると

n \to \infty lim a_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ 0 \frac{1}{2} 1 (0 < α < \frac{1}{2}), (α = \frac{1}{2}), (\frac{1}{2} < α < 1) .

である。

北海道大学 2008年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2008年度
理系数学前期第3問