問題
袋の中に1から4までの数を1つずつ記した4つの玉が入っている．それらをよく混ぜて袋の中から玉を1つ取り出す試行を3回行う．ただし，1度取り出した玉はもとへ戻すものとする．取り出した玉に書かれた数字を順に，，とする．このとき平面で3点，，を考え，線分，，で囲まれた図形の面積をとする．
(1) を，，を使って表せ．
(2) となる確率を求めよ．
(3) となる確率を求めよ．
方針
三角形の面積は と の成分から と出す。確率は の順序つき 通りを等確率として数える。(2)は を ごとに解き，(3)は を満たす組を で表にして漏れなく数える。
解答
(1)
であるから である。2つのベクトル ， が作る三角形の面積は であるから である。したがって である。
(2)
各試行では がそれぞれ のいずれかになり，全体は 通りである。 となる条件は である。これは と書ける。 のときは となり不適である。 のときは なので の2通りである。 のときは なので の1通りである。 のときは なので の1通りである。
したがって条件を満たす組は4通りであり，求める確率は である。
(3)
(1)より は と同値である。ここで とおく。
まず となる可能性を確認する。， より である。 だから右辺の最小値は のときの であり， は起こらない。したがって だけを数えればよい。 では なので該当なし。 では なので該当なし。 では である。 には が必要で，そのとき より だけである。したがって が1通りである。 では である。 のとき より が可能である。 では最大でも なので不可能である。したがって の2通りである。
合計で3通りだから，求める確率は である。