問題
関数のグラフ上に3点，，とを取る．原点をとし，四角形の面積をとする．
(1) 方程式はの範囲で解を1つだけもつことを示せ．
(2) (1)で得られた解をとおき，をに固定し，点を動かす．このときが最大となるとその最大値をを用いて表せ．
出典：北海道大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
(1)は と に分け，後者で方程式を に直して単調性で一意性を示す。(2)では を固定し， で四角形を折れ線の下の面積として表す。面積関数を微分し，(1)で得た を使って臨界点 を区間内に見つける。
解答
(1)
とおく。
まず では ，， であるから である。したがってこの範囲には解はない。
次に を考える。この範囲では なので，方程式 は で割って と同値である。 とおくと であるから， は で単調に増加する。また
である。したがって ，すなわち は でただ1つの解をもつ。
(2)
(1)の解を とする。上の議論より である。 ， とする。 であり，四角形 は 軸上の を底とし，上側が折れ線 になっている。したがって面積は3つの台形または三角形に分けて
である。整理すると となる。
これを で微分すると である。 は を満たすので である。また だから である。
よって となる点は を満たす。 で，しかも だから がただ1つの臨界点である。
さらに であるから，この点で は最大となる。最大値は である。 より である。
したがって である。